Diferenciální počet
Přihlásit se

Limity

Limity tvoří bránu do světa diferenciálního a integrálního počtu. Limity nám umožňují přemýšlet o tom, jak se funkce chová v různých svých bodech. Dokonce i v bodech, kde není daná funkce definována!

Tento obsah spravuje Petra Jirůtková.

3 hodiny

Úvod do limit 12 m

Co znamená limita? Graficky si ukážeme, co se děje, když se blížíme k nějakému číslu.

Jednostranné limity z grafů 9 m

Určování jednostranných limit pomocí grafů funkcí. Co se stane, pokud jednostranné limity nemají stejnou hodnotu?

Limita v bodě, kde funkce není spojitá 6 m

Pokud funkce není spojitá v bodě a limity zprava a zleva se liší, limita nebude definována.

Která tvrzení o limitách jsou pravdivá? 5 m

Pomocí příkladu ukážeme na grafu funkce, která z následujících tvrzení platí.

Určení limity zleva a zprava z grafu 3 m

Pomocí příkladu ukážeme na grafu funkce, jaké jsou jednostranné limity a jestli existuje oboustranná limita.

Určení limity - příklad 1 6 m

V příkladu spočítáme limitu funkce v bodě z rovnice a grafu.

Vlastnosti limit dle věty o aritmetice limit 5 m

Ukážeme si pravidla pro součet, rozdíl, součin a podíl limit.

Definice spojitosti funkce pomocí limity 11 m

Definujeme si spojitost v bodě pomocí jednostranných limit a funkční hodnoty v daném bodě.

Limity v bodech, ve kterých funkce není spojitá 4 m

Ukážeme si, že limita funkce může existovat v bodě, ve kterém funkce není spojitá. Zároveň bude limita rozdílná od funkční hodnoty v bodě.

Nalezení limity pomocí algebraických úprav 5 m

Elegantní úprava algebraických výrazů pro nalezení limity a dodefinování funkce

Dodefinování funkce v bodě tak, aby byla spojitá 5 m

Jak můžeme pomocí algebraických úprav limity udělat z nespojité funkce funkci spojitou?

Limity a nekonečno 8 m

Jak může vypadat limita v plus nebo mínus nekonečnu? A co se děje, když výsledkem limity bude nekonečno?

Svislá asymptota přirozeného logaritmu 7 m

Jak vypadá funkce přirozeného logaritmu a kde má asymptotu?

Limita v plus a minus nekonečnu 4 m

Pomocí dominantních členů polynomu zjistíme, k čemu se bude blížit hodnota funkce v plus a minus nekonečnu.

Více o limitách v nekonečnu 5 m

Na několika příkladech zjistíme, jakou roli hrají dominantní členy, s jejichž pomocí určíme limity v plus nebo minus nekonečnu.

Vodorovné asymptoty v plus a mínus nekonečnu 5 m

Jak určíme vodorovné asymptoty v plus a mínus nekonečnu s použitím limit?

Výpočet limity v nekonečnu pomocí úprav výrazů 5 m

Spočítáme limitu typu nekonečno mínus nekonečno pomocí rozšíření jiným vhodným výrazem.

Věta o dvou policajtech 7 m

Mějme funkci, která je na intervalu menší než funkce f(x) a větší než funkce h(x). Pokud obě dvě f(x) i h(x) mají v nějakém bodě stejnou limitu, jakou limitu bude mít naše funkce?

Důkaz: lim (sin x)/x = 1 18 m

Pomocí věty o dvou policajtech a jednotkové kružnice dokážeme, že limita (sin x)/x se rovná 1, když x jde k 0.

Co přesně znamená limita? 4 m

Nastíníme si matematickou definici limity pomocí intuice - když se hodnoty x blíží k c, pak funkční hodnoty se blíží k f(c).

Definice limity pomocí epsilonového a delta okolí 6 m

Přesná matematická definice limity: pro všechna okolí limity o velikosti epsilon existuje okolí x o velikosti delta.

Definice limity pomocí epsilonového a delta okolí 2 7 m

Definice limity jako hra: nepřítel mi zadá okolí o velikosti epsilon. Umím najít okolí o velikosti delta?

Důkaz existence limity pomocí epsilonového a delta okolí 9 m

Na jednoduchém příkladu dokážeme, že pro jakékoliv okolí epsilon lze najít příslušné okolí delta, tedy naše definice limity platí.