Diferenciální počet

Primitivní funkce a integrály

V tomto bloku si ukážeme operaci opačnou k derivaci, tedy integrál. Čeká nás vysvětlení a procvičení jak neurčitého, tak určitého integrálu z různých funkcí. Výpočty jsou podloženy grafickým znázorněním.

Tento obsah spravují Martina Randulová, Petra Jirůtková.

2 hodiny
Navazuje na Derivace funkce II.

Primitivní funkce a neurčitý integrál 4 m

Derivace již umíme. Pojďme si jich pár zopakovat a hned na to navážeme operací opačnou, integrálem. Ukážeme si, jak se značí, co je primitivní funkce a integrační konstanta.

Neurčitý integrál mocninné funkce 6 m

Už umíme derivovat jakoukoli mocninnou funkci (tedy xⁿ). Integrál z ní bude podobný, ale musíme si dát pozor, ne úplně stejný. Hned si to i řádně procvičíme.

Neurčitý integrál zapeklitějšího výrazu 6 m

V tomto příkladě máme vypočítat integrál z výrazu, který se skládá ze součtu jednotlivých členů. V tomto případě, jak si ukážeme, lze počítat integrály z jednotlivých členů nezávisle na ostatních.

Neurčitý integrál goniometrických funkcí a exponenciály 4 m

Pojďme si ukázat integrování dalších typů funkcí, tentokrát goniometrických a exponenciálních. Zároveň je zde zdůrazněné, že integrační proměnná může být značená i jinak než "x". To ale na celé věci nic nemění.

Neurčitý integrál lomené funkce 8 m

Jak správně zintegrovat funkci 1/x? Pojďme si to rozebrat na grafu s pomocí geometrické interpretace derivace.

Určování integrační konstanty 4 m

Zajímavý příklad, ve kterém známe funkční hodnotu v daném bodě, ale neznáme předpis funkce, pouze její derivaci. A chceme funkční hodnotu v jiném bodě. Na to využijeme znalost integrování a vyřešíme pomocí dopočítání integrační konstanty.

Určování integrační konstanty 2 3 m

Příklad analogický tomu předchozímu, pouze budeme integrovat jiné funkce, abychom si to procvičili.

Určení určitého integrálu z grafu 4 m

Máme zadaný určitý integrál. Naším úkolem zde je nakreslit graf integrované funkce a pomocí plochy pod grafem tento určitý integrál vypočítat.

Rozdělení integrálu na intervaly 3 m

Na grafu si ukážeme užitečnou vlastnost určitého integrálu. Ten lze totiž rozdělit na několik částí, které na sebe navazují a dohromady tvoří původní určitý integrál.

Určitý integrál posunuté funkce 4 m

Jak se změní určitý integrál funkce, kterou posuneme doprava či doleva? Pokud si nejste jisti, pojďte si to vyzkoušet s námi.

Záměna mezí určitého integrálu 5 m

Na grafu si spolu odvodíme další důležitou vlastnost určitého integrálu. A to, jak se změní určitý integrál, pokud zaměníme integrační meze.

Vyčíslení jednoduchého určitého integrálu 6 m

Pojďme si nyní společně vypočítat určitý integrál, krok po kroku spolu s vysvětlením na grafu.

Určité integrály se zápornou velikostí plochy 7 m

Když už víme, jak vypočítat určitý integrál, zkusme tuto výzvu. Čeká na nás integrace funkce kosinu, který má půlku své periody pod osou x, tedy z našeho pohledu zápornou velikost plochy.

Výpočet určitého integrálu 5 m

Příklad na procvičení určitého integrálu u složitější lomené funkce. Proto si integrovanou funkci nejprve upravíme, aby se skládala ze součtu jednoduše integrovatelných funkcí.

Výpočet určitého integrálu 2 4 m

Zde na nás čeká určitý integrál s třetí odmocninou. Není to složité, stačí si vzpomenou, jak se odmocniny převádí na mocniny.

Výpočet určitého integrálu 3 5 m

Další ze série procvičování určitého integrálu. Nyní s funkcí sinus.

Výpočet určitého integrálu 4 7 m

Příklad podobný prvnímu v této sérii. Máme složitější lomenou funkci a nejprve ji upravíme. Nyní nám to ale povede na integrál z funkce 1/x.

Určitý integrál funkce definované po částech 6 m

Jak již pravděpodobně víme, funkce nemusí být spojité. Ukážeme si proto, jak se integruje funkce po částech.

Určitý integrál funkce definované po částech 2 7 m

Na závěr náš čeká určitý integrál z absolutní hodnoty. Tu si lze rozložit na dvě části a každou z nich integrovat zvlášť.