Diferenciální počet

Základní metody integrace

Co je to integrál již víme. Teď se ještě naučíme tři metody, takzvané per partes, substituce a metodu parciálních zlomků, kterými lze integrovat složitější funkce.

Tento obsah spravují Martina Rubešová, Petra Jirůtková.

2 hodiny

Odvození vzorce pro integraci per partes 4 m

Metoda integrace per partes vychází ze vzorce na derivaci součinu. Ten již známe, pojďme si ji proto odvodit.

Integrace per partes - příklad 4 m

Je čas na procvičení nové metody integrace per partes. Vypočítáme si proto integrál z "x krát kosinus x".

Integrál z přirozeného logaritmu - per partes 4 m

Jeden ze záludnějších integrálů, který je nezbytné řešit pomocí metody per partes, je integrál z přirozeného logaritmu. Ukažme si to krok po kroku.

Integrace per partes - příklad 2 7 m

Procvičení integrace per partes na dalším příkladu, nyní na součinu kvadratické (x²) a exponenciální funkce (eⁿ).

Integrace per partes - příklad 3 7 m

Čeká nás další procvičení metody per partes, budeme integrovat součin exponenciely a kosinu.

Metoda substituce - příklad 5 m

Další metodou, kterou si ukážeme rovnou na příkladě, je takzvaná substituce. Jak se používá a jak jí poznáme?

Metoda substituce - příklad 2 4 m

Již jsme si ukázali jeden příklad na integrování s pomocí metody substituce a zde nás čeká další typický příklad. Lomená funkce, která má mocninnou funkci ve jmenovateli o řád větší než v čitateli.

Metoda substituce - příklad 3 6 m

Častou funkcí, jejíž integrál řešíme pomocí metody substituce, je odmocnina z lineárního výrazu. Vyzkoušejme si to.

Metoda substituce - příklad 4 4 m

Ukažme si, jak se dá použít metoda substituce při integrování funkce, která obsahuje přirozený logaritmus a lomenou funkci.

Metoda substituce - příklad 5 9 m

Další primitivní funkce k funkci s přirozeným logaritmem v mocniteli. Řešeno substitucí, jako předchozí, velmi podobný příklad.

Metoda substituce - příklad 6 5 m

Použití substituce k integrování součinu dvojčlenů, přičemž jeden z nich je umocněný na pátou.

Určitý integrál řešený substitucí 8 m

Nyní si vyzkoušíme propojit znalosti výpočtu určitého integrálu a metody substituce. Nejdříve použijeme substituci, vypočítáme primitivní funkci, poté dosadíme meze.

Integrál řešený dvojitou substitucí 9 m

Příklad, kde se využije substituce dvakrát po sobě, abychom jej snadno vyřešili.

Metoda parciálních zlomků 9 m

Třetí metodou pro výpočet složitějších integrálů je metoda parciálních zlomků. Na tomto základní příkladě si ukážeme podstatu a postup.

Úprava funkce před integrováním 5 m

V některých příkladech je výhodné integrovanou funkci před integrací upravit. Jedním způsobem může být dělení mnohočlenu mnohočlenem.

Úprava funkce před integrováním 2 6 m

Další ukázka toho, že se často před integrací vyplatí funkci upravit. Nyní to bude s pomocí trigonometrické identity.

Úprava funkce před integrováním 3 5 m

Další názorný příklad, který ukazuje, jak se i při integrování vyplatí znát trigonometrické vztahy. Úprava pomocí těchto vztahů dokáže integraci značně zjednodušit.