Primitivní funkce a integrály
V tomto bloku si ukážeme operaci opačnou k derivaci, tedy integrál. Čeká nás vysvětlení a procvičení jak neurčitého, tak určitého integrálu z různých funkcí. Výpočty jsou podloženy grafickým znázorněním.
Primitivní funkce a neurčitý integrál 4 m
Derivace již umíme. Pojďme si jich pár zopakovat a hned na to navážeme operací opačnou, integrálem. Ukážeme si, jak se značí, co je primitivní funkce a integrační konstanta.
Neurčitý integrál mocninné funkce 6 m
Už umíme derivovat jakoukoli mocninnou funkci (tedy xⁿ). Integrál z ní bude podobný, ale musíme si dát pozor, ne úplně stejný. Hned si to i řádně procvičíme.
Neurčité integrály: součet a násobení konstantou 5 m
Ukážeme si krátké odvození dvou užitečných vlastností neurčitých integrálů: Integrál součtu funkcí a integrál funkce násobené konstantou
Neurčitý integrál zapeklitějšího výrazu 6 m
V tomto příkladě máme vypočítat integrál z výrazu, který se skládá ze součtu jednotlivých členů. V tomto případě, jak si ukážeme, lze počítat integrály z jednotlivých členů nezávisle na ostatních.
Neurčitý integrál goniometrických funkcí a exponenciály 4 m
Pojďme si ukázat integrování dalších typů funkcí, tentokrát goniometrických a exponenciálních. Zároveň je zde zdůrazněné, že integrační proměnná může být značená i jinak než "x". To ale na celé věci nic nemění.
Neurčitý integrál lomené funkce 8 m
Jak správně zintegrovat funkci 1/x? Pojďme si to rozebrat na grafu s pomocí geometrické interpretace derivace.
Určování integrační konstanty 4 m
Zajímavý příklad, ve kterém známe funkční hodnotu v daném bodě, ale neznáme předpis funkce, pouze její derivaci. A chceme funkční hodnotu v jiném bodě. Na to využijeme znalost integrování a vyřešíme pomocí dopočítání integrační konstanty.
Určování integrační konstanty 2 3 m
Příklad analogický tomu předchozímu, pouze budeme integrovat jiné funkce, abychom si to procvičili.
Určení určitého integrálu z grafu 4 m
Máme zadaný určitý integrál. Naším úkolem zde je nakreslit graf integrované funkce a pomocí plochy pod grafem tento určitý integrál vypočítat.
Rozdělení integrálu na intervaly 3 m
Na grafu si ukážeme užitečnou vlastnost určitého integrálu. Ten lze totiž rozdělit na několik částí, které na sebe navazují a dohromady tvoří původní určitý integrál.
Určitý integrál posunuté funkce 4 m
Jak se změní určitý integrál funkce, kterou posuneme doprava či doleva? Pokud si nejste jisti, pojďte si to vyzkoušet s námi.
Záměna mezí určitého integrálu 5 m
Na grafu si spolu odvodíme další důležitou vlastnost určitého integrálu. A to, jak se změní určitý integrál, pokud zaměníme integrační meze.
Vyčíslení jednoduchého určitého integrálu 6 m
Pojďme si nyní společně vypočítat určitý integrál, krok po kroku spolu s vysvětlením na grafu.
Určité integrály se zápornou velikostí plochy 7 m
Když už víme, jak vypočítat určitý integrál, zkusme tuto výzvu. Čeká na nás integrace funkce kosinu, který má půlku své periody pod osou x, tedy z našeho pohledu zápornou velikost plochy.
Výpočet určitého integrálu 5 m
Příklad na procvičení určitého integrálu u složitější lomené funkce. Proto si integrovanou funkci nejprve upravíme, aby se skládala ze součtu jednoduše integrovatelných funkcí.
Výpočet určitého integrálu 2 4 m
Zde na nás čeká určitý integrál s třetí odmocninou. Není to složité, stačí si vzpomenou, jak se odmocniny převádí na mocniny.
Výpočet určitého integrálu 3 5 m
Další ze série procvičování určitého integrálu. Nyní s funkcí sinus.
Výpočet určitého integrálu 4 7 m
Příklad podobný prvnímu v této sérii. Máme složitější lomenou funkci a nejprve ji upravíme. Nyní nám to ale povede na integrál z funkce 1/x.
Určitý integrál funkce definované po částech 6 m
Jak již pravděpodobně víme, funkce nemusí být spojité. Ukážeme si proto, jak se integruje funkce po částech.
Určitý integrál funkce definované po částech 2 7 m
Na závěr náš čeká určitý integrál z absolutní hodnoty. Tu si lze rozložit na dvě části a každou z nich integrovat zvlášť.