Hlavní obsah
Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 3
Lekce 1: Kuželosečky – úvodÚvod do kuželoseček
Ukážeme si čtyři kuželosečky a vysvětlíme si, proč se jim takto říká. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
My se dnes podíváme na to, co jsou to
kuželosečky, co jsou to vlastně za útvary a proč se jim tak říká a jaké kuželosečky
vlastně známe. Vy budete překvapení, protože vám to možná nic neříká, ale
vlastně všechny ty čtyři kuželosečky, které si představíme, už dávno znáte, jenom
asi nevíte, že se jim také říká kuželosečky. Prvně si je vyjmenujeme a potom si
ukážeme, proč se jim vlastně tak říká. První je kružnice, stará dobrá známá kružnice. Druhá
je elipsa, třetí parabola a čtvrtá kuželosečka je
hyperbola. Všechny čtyři už určitě znáte. Pojďme si je jenom rychle zopakovat. Kružnice
vypadá nějak takto, tady máme nějaký střed a nějaký poloměr, je to vlastně množina bodů s
danou stejnou vzdáleností od daného středu. Elipsa je, když to řeknu laicky
hodně, vlastně taková zmáčklá kružnice, může
vypadat nějak třeba takto. Kružnice je vlastně speciální případ elipsy, která není
roztažená, v uvozovkách, ani jedním směrem a je perfektně symetrická. Parabola, tu už
taky znáte, parabola může vypadat nějak třeba takto. Anebo třeba nějak takto a vy už znáte i
rovnice těch parabol. Třeba y se rovná x na druhou a tahle by mohla být x se rovná y
na druhou, takže to už známe. Hyperbola potom, jenom připomeneme, já tady nakreslím osy
x a y, dokreslím nám tady nějaké asymptoty, to ještě stále nejsou hyperboly, tady
kreslím jenom něco, podle čeho to potom nakreslím. Hyperbola se nám bude tak jako táhnout
podél těch asymptot. Nikdy se jich nedotkne a může vypadat nějak třeba takto, oni jsou
tady totiž vždycky dvě. Vypadá to trošku jako dvě paraboly, ale
nemá to až tak účkovitý tvar. Je to takové víc otevřené, takže to můžou být hyperboly,
nebo třeba takhle to taky může vypadat, tak, velice zhruba. V dalších videích si pak
ukážeme rovnice různých kuželoseček, grafy a tak dále. Tohle to je jenom takový rychlý
náčrt, abychom zhruba věděli, o co se jedná. A teď si pojďme říct, proč se jim říká
kuželosečky. Kuželosečky, to slovo samotné, vidíme, že má nějaké dvě části,
kužel, kuželo- a sečka, něco jako průsečka. Pokud vás to takhle napadlo, tak vás to
napadlo správně, protože kuželosečka je vlastně křivka, která vznikne průnikem
roviny s pláštěm takového nějakého rotačního kuželu. Takže vezmeme rovinu, tou rovinou proložíme
ten kužel, ta rovina ho protne a průnikem je nějaká křivka. My bereme jenom
plášť toho rotačního kužele, nebereme ten vnitřek, ten zanedbáváme. A průnikem té roviny
s tím kuželem, podle toho, jak tu rovinu nakloníme, bude jedna z těch čtyřech kuželoseček.
Tak si to teď ukážeme. Já budu črtat, snad to bude srozumitelné, nejsem
úplně expert na 3D kreslení. Tak začneme. Mám tady kužel a ten kužel vždycky
nakreslím jenom tady v tomto případě na nějakou osu. Co kdybych vzala rovinu, která
bude na tu osu kolmá, a proložím ten kužel tou rovinou? Tak já teď budu tak zhruba kreslit,
nějak takto. Ta rovina samozřejmě je nekonečná, ona tady
všude pokračuje, to je jenom jako náš náčrtek. Stejně tak ten kužel tady
pokračuje a nekončí, ano. Takže když ta rovina protne ten kužel v tomto bodě,
kolmo na tu osu, tak co tam dostaneme jako průnik toho pláště a té roviny? Kdo
tipoval kruh, tak tipoval správně, já to ještě nakreslím. Kdybychom se na ten kužel
dívali shora, tak tu máme tu rovinu, která ho protla a tady by vlastně vznikl takový kruh. Si to představte. Dobře, takže to je rovina, která
je kolmá na tu osu toho kužele. Co kdybychom tu rovinu mírně, mírně naklonili,
už by nebyla kolmá, ale byla by mírně nakloněná, třeba nějak takto. Co by vzniklo
tam? Zkuste si to představit, jak ta rovina protne ten kužel, když se na to podíváte
seshora. Už by to nebyl kruh, ale byla by to elipsa. Správně, koho napadla elipsa, tak je to správně.
Zase kdybychom se dívali seshora, tak by to vypadalo nějak takto. Podle toho, jak
moc by to bylo nakloněné, čím víc by ta rovina byla nakloněná, tím protáhlejší
by ta elipsa byla, samozřejmě. Takže takto. Máme tady ještě další dva. Kdybychom tu
rovinu nakláněli dál, dál a dál, vypadala by nějak takto, já se to pokusím nakreslit. A vysvětlím, co
to má znázorňovat. Takže tady ta rovina, ona vede tak, že protíná stále jen tu
spodní část toho kužele. Třeba takto. Vede rovnoběžně s pláštěm toho horního kužele a
protíná jenom ten spodní. Když si to teď představíte, co ona vlastně dělá, ta rovina,
tak už to nebude elipsa, protože tady se nám ta elipsa nějakým způsobem otevře a
vznikne nám tady vlastně parabola. Tady takhle protne tady tímhle směrem ten kužel. A taková otevřená elipsa je vlastně parabola. Když se na to opět podíváme seshora, tak by to
vypadalo nějak takto. No, to je škaredá parabola. Poslední případ. Když
už budeme mít rovinu, která bude rovnoběžná s osou toho kužele a bude protínat obě dvě ty části toho kužele tak, že to bude vypadat nějak takto. Opravdu omluvte mé 3D kreslení, bude protínat
oba dva ty kužely, rovnoběžná s osou kužele, Ta rovina nemusí být úplně rovnoběžná. Mohla by svírat s osou úhel menší než je polovina vrcholového úhlu kuželu. No tak pak nám to vlastně tady vytvoří takové
dvě hyperboly. A to je vlastně poslední případ. Takže jsme si ukázali, že vlastně
kuželosečky už dávno známe. Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola. A ukázali
jsme si, proč se jim vlastně říká kuželosečky, poněvadž vzniknou průnikem roviny a
pláště rotačního kužele. Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.