Řešení kvadratických rovnic: komplexní kořeny

Máme tady kvadratickou rovnici 2x na druhou + 5 = 6x My bychom rádi vypočítali kořeny této kvadratické rovnice. Pojďme na to. Nejlépe se nám kořeny počítají, když máme kvadratickou rovnici v základním tvaru, který je ax na druhou + bx + c = 0. Pojďme si tuto kvadratickou rovnici do tohoto tvaru převést. Proto musíme od obou stran odečíst 6x a dostaneme 2x na druhou - 6x + 5 = 0. Teď už máme kvadratickou rovnici v základním tvaru a můžeme s ní pracovat. Mohli bychom třeba vydělit všechny členy dvěma, pak bychom dostali u koeficientu kvadratického členu 1 a mohli bychom jednoduše nalézt kořeny, jenže tady máme pětku, dostali bychom zlomek 5/2 a s tím by se nepočítalo dobře. Takže jiný způsob: Mohli bychom také zkusit tuto rovnici doplnit na čtverec, ale myslím, že nejlepší bude, když použijeme vzorec pro výpočet kořenu s diskriminantem. Ten už všichni určitě dobře znáte a ten zní: x jedna a dva, tedy naše dva kořeny, které dostaneme z kvadratické rovnice, se rovná -b plus minus odmocnina z b na druhou minus 4ac lomeno 2a. Toto je náš vzorec pro výpočet kořenu kvadratické rovnice. Tady je naše a, toto je b a toto c. A můžeme tedy počítat. -b - - 6 je 6 +/- odmocnina… b na druhou, - 6 na druhou, to je 36... minus 4ac ... 4 krát 2 krát 5 lomeno 2a... 2 krát a ... 2 krát 2 jsou 4. Pokračujeme dál. To se rovná 6 +/- odmocnina... Tady máme 36 - 4 krát 2 krát 5 ... to je 8 krát 5 ... to je 40, 36 - 40 je - 4, to celé děleno 4. A teď už začínáte přemýšlet, co se nám tady děje, máme tady záporné číslo pod odmocninou. A vy už jste na to určitě přišli. Tady přece dostaneme jako výsledek odmocniny komplexní číslo. Ano, máte úplnou pravdu. A pokud hned z hlavy nevíte, kolik je odmocnina z -4, tak si to pojďme krátce spočítat. Odmocnina z -4, to je to stejné jako odmocnina z -1 krát 4, podle jednoho pravidla odmocňování to můžeme zapsat jako odmocnina z -1 krát odmocnina ze 4. Odmocnina z -1 už víme, že je i, tedy imaginární jednotka krát odmocnina ze 4 jsou 2 a dostáváme 2i. Tato odmocnina z -4 jsou 2i. Pojďme to dopočítat. To se rovná 6 +/- 2i lomeno 4. Čitatele i jmenovatele můžeme vydělit 2 a dostaneme tedy 3 +/- i lomeno 2. Takže x jedna, první kořen, bude (3 + i) / 2 a nebo to také můžeme zapsat jako 3 poloviny + 1 polovina i, chcete-li. A x dva se rovná (3 - i) / 2 nebo také 3 poloviny - 1 polovina i. Jak vidíte dostali jsme 2 komplexní čísla a tedy 2 komplexně sdružené kořeny, které se liší jenom tady znaménkem mezi reálnou a imaginární částí. Máme tyto kořeny, ale asi by bylo dobré, jelikož to byl složitější příklad, si pro jistotu ověřit, jestli jsme došli k správnému výsledku. Tak si pojďme ty kořeny zpátky dosadit do této rovnice. Vybereme si vždy tuto možnost, protože na počítání je jednodušší. Prvně opíšu naši rovnici, ať s ní můžeme počítat a vidíme na ni. 2x na druhou + 5 = 6x. Tak, jak to bylo na začátku, použijeme tu původní verzi. Tedy x jedna, dosazujeme první kořen. 2 krát ((3 + i)/ 2), to celé na druhou, plus 5 se rovná 6 krát ((3 + i)/ 2) Pozor, tady umocňujeme zlomek, tak to bude trošku složitější, ale věřím, že to bez problémů zvládnete. 2 krát, a pojďme na to: násobíme tento zlomek sebou samým nahoře máme 3 + i, to je jako (a + b) to celé na druhou. Buď si to můžete klasicky roznásobit a nebo už si pamatujete, že (a + b) na druhou, na to máme vzoreček, je a na druhou + 2ab + b na druhou. Pojďme podle vzorečku, a na druhou... 3 krát 3... to je 9 plus 2ab ... 2 krát 3i ... to je 6i plus b na druhou .... plus i na druhou. A dole dostaneme 2 krát 2 dvě na druhou, to je 4, plus 5 = ... tady máme 6, tady 2 můžeme to tedy vydělit 2 a dostaneme 3. Takže to bude 3 krát (3 + i). Postupujeme dál. Tady máme 4, tady 2, tady nám zůstane děleno dvěma. Ještě si uvědomíme, že i na druhou je -1 z definice a můžeme pokračovat. 9 + 6i - 1, to je to i na druhou, děleno 2, plus 5 se rovná... 3 krát 3 je 9 plus 3 krát i jsou 3i. Budeme pokračovat tady nahoře. 9 - 1 je 8 ... plus 6i děleno dvěma plus 5 se má rovnat 9 + 3i Vydělím 2... 4 + 3 i + 5 se má rovnat 9 + 3i. A my už vidíme, že tady máme 3i a tady máme 3i a tady máme 4 + 5, což se rovná 9. Takže první kořen rovnice je v pořádku. Pojďme na druhý kořen, na kořen x dva, který se liší pouze znaménkem. Uděláme to obdobně, ať vidíme na rovnici, a potom si to posuneme. 2 krát x na druhou.... tedy 3 - i lomeno 2... to celé na druhou plus 5 se má rovnat 6x, 6 krát 3 - i lomeno 2. Posuneme, ať máme prostor na výpočet. Budeme postupovat obdobně. 2 krát... zase máme zlomek na druhou, násobíme ho sebou samým a tentokrát máme 3 - i, to celé na druhou, tedy (a - b) na druhou, a výsledkem podle vzorečku, pokud nechcete zdlouhavě roznásobovat, bude a na druhou - 2ab + b na druhou. Tak pojďme na to. a na druhou, tedy 3 krát 3, je 9, tentokrát minus 2ab…2 krát 3 krát i… -6i plus b na druhou plus i na druhou lomeno… 2 na druhou jsou 4 opět jako minule + 5 se má rovnat… tady máme 6 a 2, to si vykrátíme, zbyde nám 3, 3 krát (3 - i). Opět víme, že i na druhou je -1 z definice, tady máme 2 a 4, to se vykrátí, zůstane 2. 9 - 6i - 1 lomeno 2 plus 5 se rovná... 3 krát 3 je 9, 3 krát -i je -3i. Zase půjdeme sem. 9 - 1 je 8, - 6i lomeno 2 plus 5 se má rovnat 9 - 3i. Vydělíme dvěma, dostaneme 4 - 3i + 5 se má rovnat 9 - 3i a my už vidíme opět -3i a -3i a 4 + 5 je opravdu 9. Zase jsme počítali správně, takže i tento druhý kořen je správně a tyto 2 komplexně sdružené kořeny opravdu vyhovují této kvadratické rovnici nahoře.