If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Dokazování sinové věty

Jednoduchý důkaz sinové věty Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Teď si ukážeme důkaz sinové věty. Nakreslím nějaký obecný trojúhelník. Zde mám jednu stranu a tady druhou. Pokusím se ho nakreslit trochu zvláštně, abyste viděli, že tuto větu lze použít pro jakýkoliv trojúhelník. Řekněme, že známe tento úhel. Vlastně nebudu říkat, co známe a co ne. Sinová věta se zabývá poměry mezi úhly a stranami. Řekněme, že tento úhel je alfa. Tato strana je A Má délku A. Řekněme, že toto je úhel beta, a délka této strany je B. Řecké písmeno beta je B s dlouhým koncem. Podívejme se, zda dokážeme najít poměr mezi stranami A a B a úhly alfa a beta. Co můžeme tedy udělat? Doufejme, že nalezený poměr bude odpovídat tomu, co nám říká sinová věta. Jinak budu muset přejmenovat toto video. Nakreslím zde výšku. Pokud narýsuji z této strany úsečku přímo dolů a bude kolmá na tuto dolní stranu, kterou jsem neoznačil, ale pokud musím, tak ji označím C, protože tu už mám A a B. A toto bude pravý úhel. Tuto délku neznám. Nic o ní nevím. Co vím je, že jsem z tohoto vrcholu spustil kolmici na tuto stranu. Takže, co můžeme udělat s touto kolmicí? Řekněme, že má délku 'x'. Délka je 'x'. Dokážeme najít poměr mezi délkou strany A, délkou úsečky 'x' a úhlem beta? Jasně, že ano. Podívejme se na to. Takže, o jaký poměr se jedná? Pokud se podíváme na úhel beta, pak strana 'x' je k němu protilehlá a strana A je přepona. Která funkce je spojena s protilehlou stranou a přeponou? (nepřeložitelná slovní hříčka týkající se trigonometrie) Která funkce se vztahuje k protilehlé straně a přeponě? Sinus. To jste nejspíš uhodli, protože dokazuji sinovou větu. Takže sinus beta se rovná protilehlé odvěsně dělené přeponou. Rovná se protilehlé odvěsně, což je 'x', lomeno přeponou, což je v tomto případě A. A teď vypočítám 'x', protože se to bude hodit později, vynásobíme obě strany této rovnice 'A' a dostanete 'A' sin BETA = 'x'. Dobrá. Nyní jsme se někam dostali. Podívejme, jestli můžeme najít poměr mezi alfou, B a 'x'. A pokud se podíváme na tento trojúhelník, který je samozřejmě také pravoúhlý, 'x' vzhledem k alfě je také protilehlá strana a B je nyní přepona. Můžeme také napsat, že sinus alfa se rovná protilehlé odvěsně lomeno přeponou. Protilehlá je 'x' a přepona je B. Zkusme znovu vypočítat 'x'. Vynásobíme obě strany délkou B a dostaneme B sin (alfa) = 'x' Co tu máme teď? Máme dva rozdílné způsoby pro výpočet 'x', je to tak? Máme A sin (beta) = 'x' a B sin (alfa) = 'x' Jelikož se obě rovnají 'x', rovnají se i navzájem. Napíšu to. Napíšu to uklidňující barvou. Víme, že A sin (beta) = 'x', což se také rovná B sin (alfa) Pokud vydělíme obě strany rovnice A, co dostaneme? Dostaneme sin (beta), protože A se na této straně vykrátí, se rovná B sin (alfa) lomeno A. Pokud vydělíme obě strany rovnice B, dostaneme sin (beta) lomeno B = sin (alfa) lomeno A To je sinová věta. Poměr mezi sinus úhlu beta a jeho protilehlé strany se rovná poměru sinu úhlu alfa a jeho protilehlé strany. A často se v knihách píše, že pokud by tento úhel byl theta, a toto bylo C, že se to také rovná sin (theta) lomeno C. A důkaz je stejný. Vybrali jsme si zrovna B, ale mohli jsme udělat to samé s theta a C, ale místo této výšky bychom museli použít jednu z těchto výšek. Myslím, že na to dokážete přijít. Ale důležité je, že máme tento poměr. A jelikož je to poměr, můžeme obrátit obě jeho strany a můžeme to napsat jako B lomeno sin (beta) = A lomeno sin (alfa) To je užitečné, protože pokud známe jednu stranu a odpovídající úhel, úhel oproti ní a řekněme, že známe i další stranu, můžeme vypočítat zbývající úhel. Pokud známe tři údaje, můžeme vypočítat čtvrtý. A proto je sinová věta užitečná. Teď můžeme vypočítat pár slovních úloh na sinovou větu. Na shledanou v příštím videu.