Mocniny a odmocniny
Přihlásit se
Mocniny a odmocniny (6/20) · 6:08

Mocniny čísel 1 a -1 Jaký je výsledek mocnin o základu -1 nebo 1?

Navazuje na Zaokrouhlování.
Zamysleme se nad mocninami jedniček a nul. Vezměme číslo 1 a umocněme ho na osmou. Už jsme viděli, že máme dva způsoby, jak se s tímhle vypořádat. Můžete si vzít 8 jedniček a vynásobit je. Zkusíme to. Máme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 jedniček a teď je mezi sebou vynásobíme. A když to uděláte, tak dostanete... 1 krát 1 je 1, krát 1... Nezáleží kolikrát jedničkou vynásobíte. Vždy dostanete 1. A představte si, že jsem to udělal 8 krát. Násobil jsem osm jedniček. ale i kdyby jich bylo 80, nebo 800, nebo třeba 8 miliónů... Pokud mám 8 miliónů jedniček a vynásobím je mezi sebou, pořád se to bude rovnat 1. Takže 1 umocněná čímkoliv bude vždy 1. A můžete říct: A co 1 na nultou? No a už jsme si řekli, že cokoliv na nultou... Až na 0. O ní se dá diskutovat. Ale cokoliv na nultou se bude rovnat 1. A při použití trochy intuice se na to můžeme dívat jako na další definici mocnin, kde když začneme s číslem 1 a tohle číslo určuje, kolikrát vynásobíme tu jedničku tímhle číslem. Takže 1 vynásobíme 1 nulakrát a výsledek bude 1. Aby to bylo trochu jasnější zkusíme 2 na 4 se rovná... V nové definici umocňování, kterou tu máme, začneme s 1 a pak ji násobíme 4krát číslem 2 takže krát 2, krát 2, krát 2, krát 2, a to se rovná 16. Takže když tady začneme jedničkou a násobíme ji 0krát číslem 1, pořád dostaneme výsledek 1. A tedy vše, co není 0 na 1 se bude rovnat 1. Nyní zkusme zajímavější možnosti. Začneme se zápornými čísly. Vezměme −1 a nejdříve ji umocněme na 0. A ještě jednou, podle naší definice začneme číslem 1 a násobíme tímhle číslem 0krát. Ano, to znamená, že nenásobíme vůbec. A vyjde tedy 1. Zkusíme −1 na 1. Cokoliv na první, jak vidíte a jak říká naše definice začne touhle jedničkou vpravo. Když chceme být konzistentní a pracovat s naší definicí řekneme si tedy, že začneme s 1 a pak ji násobíme 8krát číslem 1. A pořád nám tady v pravo vyjde 1. Ale teď to zkusíme s −1. Začneme s 1 a jednou ji vynásobíme −1. A tohle se samozřejmě bude rovnat −1. Nyní vezmeme −1 a umocníme ji na druhou. Tomu co je ve druhé mocnině někdy říkáme kvadrát. Takže −1 na 2. Opět začneme s číslem 1 a násobíme 2krát po sobě číslem −1. A čemu se to bude rovnat? Znovu to, podle naší definice, uděláme tak, že jedničku budeme ignorovat, protože nemění výsledek. Vezmeme dvě −1 a vynásobíme je. −1 krát −1 je 1. A nyní se už v tom dá vidět systém. Vezmeme −1 na 3. Kolik to bude? Podle naší definice začneme s jedničkou a tu postupně 3krát násobíme −1, takže krát −1, krát −1, krát −1. Nebo si to můžete představit jen jako tři −1, které spolu násobíte, protože kladná 1 nemění hodnotu. To se rovná: −1 krát −1 je kladná 1, krát −1 je −1. Teď vidíte vzor. −1 na 0 je 1. −1 na 1 je −1. Znovu vynásobíme −1 a dostaneme 1 Znovu vynásobíme −1 a dostaneme −1. Ten systém, který už možná vidíte, je, že pokud umocníte 1 lichým exponentem, vyjde −1. A pokud mocníte sudým exponentem, vyjde 1, protože −1 krát −1 je 1. Násobí se sudý počet −1, takže vždy násobíte −1 a −1. Takže toto platí pro sudé exponenty. To je vidět když umocníte −1 na 4. Začínáme s jedničkou a pak násobíme 4krát −1 −1 krát −1, krát −1, krát −1. To se bude rovnat kladné 1. Kdyby se vás někdo zeptal... Už tedy víme, že například 1 na miliontou bude jednoduše 1. Kdyby se vás někdo zeptal, kolik je −1 na miliontou? Víme, že 1 milion je sudé číslo, takže i toto bude kladná 1. Ale −1 na 999 999... Toto je liché číslo. Výsledek tedy bude −1.
video