Úvod do parametrických rovnic

Představme si nějaký útes. Řekněme, že tento útes bude 50 metrů vysoký. Na tomto útesu mějme auto. Auto na útesu nebude jen stát, ono z něj pojede. Zní to jako dramatická zápletka. Máme tu auto. Pojedeme s ním rychlostí 5 metrů za sekundu. Naším úkolem je zjistit, jakou trajektorii bude naše auto při pádu opisovat. Pojďme si k obrázku nakreslit souřadnicové osy. Tady máme svislou osu y. A zde vodorovnou osu x. Tady je tedy osa y, tady osa x. To, že útes je 50 metrů vysoký, již víme ze zadání. Nulová hodnota na ose y je ve výšce hladiny moře. Takže v tomto bodě dosahuje hodnoty 50. V tomto bodě na útesu je hodnota x rovna 10. Tento konkrétní bod má tedy souřadnice [10; 50]. Řekněme, že v tomto bodě bude auto sjíždět z útesu. Čas je rovný 0. Napíšeme, že t se rovná 0. Proměnná t označuje čas. Čas je roven 0. Má otázka zní: co se stane s autem, když sjede z onoho útesu? Tohle trochu zasahuje do fyziky. Nebudu zde dokazovat platnost fyzikálních vzorečků. Doporučuji vám, abyste se podívali na videa z oblasti kinematiky, abyste věděli, odkud ty vzorečky pocházejí. Zde nám jde pouze o to, abychom dané vzorce aplikovali. Závislost na čase... Žlutá barva snad bude dobře vidět. ...bude vypadat jak? Předpokládejme, že žijeme na planetě, která nemá atmosféru. Jsme tedy ve vakuu. Vyjedeme z bodu x směrem doprava s rychlostí 5 metrů za sekundu. Nebudeme zpomalováni žádným působením větru. Newtonův zákon o pohybu: jestliže na těleso nepůsobí žádné vnější síly nebo výslednice sil je nulová, pak těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. V našem případě je výslednice sil nulová. Auto se bude neustále pohybovat rychlostí 5 metrů za sekundu. Ze vzorce víme, že vzdálenost se rovná rychlost krát čas. Naše rychlost je 5 metrů za sekundu. Vzdálenost jsme na ose x nezačali měřit od hodnoty 0. Čas se rovná 0. Vše začíná v hodnotě x rovno 10. Takže v naší funkci přičteme hodnotu 10. Tohle by už mělo být lehce intuitivní, ne? Když je čas roven 0, vyjde nám, že výsledná hodnota je 10 (5 krát 0 plus 10). To dává smysl. V případě, že čas bude roven 1, posuneme se o 5 metrů dál. Tomu je snad dobře rozumět. Funkci pro vzdálenost v závislosti na čase máme hotovou. Už vám asi došlo, že video se zaměřuje na parametrické rovnice, ne na fyziku. Přichází tedy vhodná doba si osvětlit, co vlastně ten parametr je. Často je parametrem v parametrických úlohách právě čas. Ale může jím být cokoliv. Parametrem může být poloměr, velikost úhlu, tedy skutečně cokoliv. Pojďme zjistit, jak se chová y jako funkce času. Takže y jako funkce času bude v počáteční pozici rovno 50. Jsme 50 metrů nad hladinou moře. Přičteme k tomu počáteční rychlost ve směru osy y. Takovou však nemáme. Auto se nepotápí, ani neskáče. Prostě se normálně pohybuje zleva doprava. Útes toto auto udržuje v horizontální poloze, takže ve směru osy y nemáme rychlost. Kdyby nějaká existovala, spočítala by se jako rychlost krát čas. Protože ale neexistuje žádná rychlost ve směru nahoru či dolů, nepřidáme tam už nic. Plus gravitační zrychlení krát čas na druhou lomeno dvěma. Potřebujeme zjistit průběh funkce sinus. Je určitě užitečné se dotknout i základů fyziky, abyste věděli, odkud vzorce pochází, a co bylo vlastně motivací pro využití parametrických rovnicí pro tento příklad. Gravitace v tomto případě směrem dolů. Směr dolů znamená v jazyce souřadnic minus y, tedy y se snižuje. Gravitační zrychlení je zhruba 9,8 metrů za sekundu na druhou. Abychom však příklad zjednodušili úplně, budeme uvažovat hodnotu 10 metrů za sekundu na druhou. Každá věc na naší planetě bude takto zrychlovat směrem k Zemi. Protože jsme ve vakuu, předpokládejme, že naše fiktivní planeta je těžší než Země. Směr zrychlení jde dolů, je tedy pro souřadnicový systém záporný. Vzorec pro počáteční pozici napíšeme následovně: nulová rychlost krát čas se rovná nula, tu nepíšeme, minus 10 krát 't' na druhou děleno 2. Pro objasnění, kde se vzaly takové vzorce, se podívejte na videa z oboru kinematiky. O to zde ale nejde. My chceme grafem znázornit pohyb auta a naučit se něco o parametrických rovnicích. Jak bude vypadat trajektorie auta padajícího z útesu? Uděláme si tabulku. 'x' a 'y' jsou funkcí třetího parametru, času 't'. Budeme za proměnnou 't' volit různé hodnoty a podle toho dopočítáme 'x' a 'y'. Výběr můžeme provést vcelku náhodně. 't' se rovná 0. A také případy pro 't' se rovná 1, 2 a 3. Když se čas rovná 0, kolik bude 'x'? 'x' bude rovno 10 metrům. Když se čas rovná 1, kolik bude 'x'? Funkční hodnota v jedničce. To přesně znamená tento zápis. 5 krát 1 je 5, 5 plus 10 je 15. Funkční hodnota ve dvojce? 5 krát 2 plus 10 je dohromady 20. To přeci dává smysl. Každou sekundu se posouváme o 5 metrů doprava. Hodnota 'x' tedy narůstá o 5 metrů. Když je čas roven 3, výsledek funkce bude 25. Jednoduché. Pro 'y' to bude o něco složitější. Zde to můžeme zkrátit, snad to vidíte. 10 děleno 2 je 5. Pro první případ máme 50 minus 5 krát 't' na druhou. Čas se ale v tomto případě rovná 0. Výsledek je tedy 50. V čase rovném 1 máme 1 na druhou krát 5, to je 5. 50 minus 5 je 45. V čase 1 tedy budeme 45 metrů nad mořem. Jdeme dál. Pro další případ máme 2 na druhou, to se rovná 4. 4 krát 5 je 20. 50 minus 20 je 30. Pro poslední případ, který jsme si zvolili, se čas rovná 3. 3 na druhou je 9. 9 krát 5 je 45. 50 minus 45 je 5. Pojďme si výsledky vyznačit do grafu. Začneme případem 't' se rovná 0. Bod bude tady. Pro čas roven 1 máme 'x' rovno 15. Zpřesníme si osu 'x': 5, 10, 15, 20, 25... To samé uděláme pro osu 'y'. 10, 20, 30, 40, 50. Pro čas rovný 0 nám vychází bod o souřadnicích 10, 50. To je tady. Pro čas rovný 0 vychází bod 15, 45. 'x' je 15, 'y' je 45, to je zhruba tady. To je výsledný bod pro druhý případ. Pro třetí případ vychází bod o souřadnicích 20, 30. To je zhruba tady. Už máme tři body, zbývá poslední. Pro čas rovný 3 vychází bod o souřadnicích [25; 5]. To je tady. Když bychom pokračovali, dostali bychom se s autem až na zem. Přesný bod nárazu lze spočítat, postavíme 'y' rovné nule a dopočteme zbytek. Pojďme do toho. Pokud se levá strana rovná 0, dostaneme 't' rovno odmocnině z 10. To je něco přes 3 sekundy. To dává smysl, že? Něco přes 3 sekundy a auto dopadne na zem. Ale jaká je trajektorie pádu auta? Bude vypadat asi následovně. Padá čím dál rychleji a rychleji... a BUM! Dotkne se země za 3 sekundy a nějaké drobné. Je docela zajímavé, že změnou parametru jsme nezískali jen samotnou křivku, že? Dostali jsme křivku, konkrétně poloviční parabolu, a mohli jsme vytknout 't' a dostat tak rovnici oné paraboly. To uděláme v dalších videích. Zajímavé však je, že parametrizováním problému jsme získali směr pohybu auta. Kdybyste viděli jen tenhle graf bez auta, neurčili byste odkud kam se auto pohybuje. Když ale víme, že 't' se zvyšuje, posouváme se v tomto směru. Můžeme zde nakreslit nějaké šipky. Protože jde o parametrickou rovnici, můžeme sem dokreslit šipky. Ale tou nejpodstatnější věcí je fakt, že známe polohu auta v jakémkoli okamžiku. Můžete si zvolit například čas rovný 1,25, dosadíte a máte polohu auta v daném čase. Můžete si všechny body vynést do grafu a jistě vědět, že s postupem času auto zrychleně klesá dolů. To je samozřejmě důvod, proč 'y' souřadnice klesá s postupem času rychleji. Tento příklad jsem vám chtěl ukázat z jednoho důvodu. Ačkoli se jedná o zajímavý fyzikální problém, nechtěl jsem vás učit fyziku. Motivací bylo ukázat vám dobrý příklad toho, proč vlastně parametrické rovnice existují. Tyto dvě věci jsou parametrické rovnice: definovali jsme 'x' a 'y' jako funkce třetího parametru 't', místo toho, abychom definovali 'y' podle 'x' a naopak. Tak jsme to dělali dříve. Toto je užitečné. Představte si, že řešíte těžký fyzikální problém, kde chcete ve 3D prostoru zjistit polohu nějakého objektu. Pak máte 'x' jako funkci času, 'y' jako funkci času a 'z' jako funkci času. Pomocí parametrických rovnic lze řešit různé problémy, a to nejen z oblasti fyziky. Myslím si však, že nejlepší je začít řádnou motivací. Když jsem se učil o těchto rovnicích prvně, jsem nechápal, proč si ničit všechna protivná 'x' a 'y' dalším parametrem 't'? Tady máte důvod. Můžete zjistit trajektorii předmětů. Můžete zjistit směr objektu, který se pohybuje po křivce. Můžete zjistit přesnou pozici v jakémkoli čase, či jiné veličině.