Trigonometrie
Přihlásit se
Trigonometrie (10/16) · 11:08

Parametrické rovnice 1 Úvod do parametrických rovnic

Představme si nějaký útes. Řekněme, že tento útes bude 50 metrů vysoký. Na tomto útesu mějme auto. Auto na útesu nebude jen stát. Ono z něj pojede. Zní to jako dramatická zápletka. Pojďme toto auto popsat lehce fyzikálně. Pojedeme s ním rychlostí 5 metrů za sekundu. Naším úkolem je zjistit, jakou trajektorii bude naše auto při pádu opisovat. Pojďme si k obrázku nakreslit souřadnicové osy. Tady máme svislou osu y. A zde vodorovnou osu x. Tady je tedy osa y, tady osa x. To, že útes je 50 metrů vysoký, již víme z předchozího výkladu. Nulová hodnota na ose ypsilon je ve výšce hladiny moře. Takže v tomto bodě dosahuje hodnoty 50. V tomto bodě na útesu je hodnota x rovna 10. Tento konkrétní bod má tedy souřadnice 10, 50. Řekněme, že v tomto bodě bude auto sjíždět z útesu. Čas je rovný 0. Napíšeme, že t se rovná 0. Proměnná t označuje čas. Čas je roven 0. Má otázka zní: co se stane s autem, když sjede z onoho útesu? Tento problém lehce zasahuje do oblastí fyziky. Nebudu zde dokazovat platnost fyzikálních vzorečků. Doporučuji vám, abyste se podívali na videa z oblasti kinematiky. Právě odtud tyto vzorečky pocházejí. Zde nám jde pouze o to, abychom dané vzorce aplikovali. Závislost na čase - žlutá barva snad bude dobře vidět - bude vypadat jak? Předpokládejme, že žijeme na planetě, která nemá atmosféru. Jsme tedy ve vakuu. Vyjedeme z bodu x směrem doprava. Rychlost se rovná 5 metrů za sekundu. Nebudeme zpomalováni žádným působením větru. Newtonův zákon o pohybu zní následovně: Jestliže na těleso nepůsobí žádné vnější síly nebo výslednice sil je nulová, pak těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. V našem případě je výslednice sil nulová. Auto se bude neustále pohybovat rychlostí 5 metrů za sekundu, nebude docházet k žádnému zrychlování či zpomalování. Ze vzorce víme, že vzdálenost se rovná rychlost krát čas. Naše rychlost je 5 metrů za sekundu. Vzdálenost jsme na ose x nezačali měřit od hodnoty 0. Čas se v tomto bodě také rovná 0. Vše začíná být měřeno v hodnotě x = 10. Takže v naší funkci přičteme hodnotu 10. Tohle by už mělo být lehce intuitivní, ne? Když je čas roven 0, vyjde nám, že výsledná hodnota je 10 (5 krát 0 plus 10). To dává smysl. V případě, že čas bude roven 1, posuneme se o 5 metrů dál (5 krát 1 plus 10). Tomu je snad dobře rozumět. Funkci pro vzdálenost v závislosti na čase máme hotovou. Už vám asi došlo, že toto video se zaměřuje na parametrické rovnice, nikoli na výuku fyziky. Přichází tedy vhodná doba si osvětlit, co vlastně ten parametr je. Dáme si příklad. Parametrem situací, kdy se lidé baví o parametrických rovnicích, je čas. Ale může jím být cokoliv. Parametrem může být poloměr, velikost úhlu... Skutečně cokoliv. Pojďme zjistit, jak se chová y jako funkce času. Takže y jako funkce času bude v počáteční pozici rovno 50. Jsme 50 metrů nad hladinou moře. Přičteme k tomu počáteční rychlost ve směru osy y. Takovou však nemáme, to je logické. Auto se nepotápí, ani neskáče. Prostě se normálně pohybuje zleva doprava. Útes toto auto udržuje v horizontální poloze. Takže ve směru osy y nemáme žádnou rychlost. Kdyby nějaká existovala, spočítala by se jako rychlost krát čas. Protože ale neexistuje žádná rychlost ve směru nahoru či dolů, nepřidáme tam už nic. Plus gravitační zrychlení krát čas na druhou. Potřebujeme zjistit průběh funkce sinus. Je určitě užitečné, se dotknout i základů fyziky, abyste věděli, odkud tyto vzorce pochází, a co bylo vlastně motivací pro využití parametrických rovnicí pro tento příklad. Gravitace v tomto případě směrem dolů. Směr dolů znamená v jazyce souřadnic mínus y. y se snižuje. Gravitační zrychlení je - zhruba - 9.8 metrů za sekundu na druhou. Abychom však příklad zjednodušili úplně, budeme uvažovat hodnotu 10 metrů za sekundu na druhou. Každá věc na naší planetě bude zrychlovat právě dle této hodnoty směrem k zemskému jádru. Protože jsme ve vakuu, předpokládejme, že naše fiktivní planeta má více hmoty než Země. Směr zrychlení jde dolů, je tedy pro souřadnicový systém negativní. Vzorec pro počáteční pozici napíšeme následovně - nulová rychlost krát čas se rovná nula, tu nepíšeme mínus 10 krát 't' na druhou děleno 2. Pro objasnění, kde se vzaly takové vzorce, se podívejte na videa z oboru kinematiky. O to zde ale nejde. My chceme znázornit na grafu, co se s autem bude dít, a zároveň se přiučit něco o parametrických rovnicích. Jak bude vypadat trajektorie auta padajícího z útesu? Uděláme si tabulku. 'x' a 'y' jsou funkcí třetího parametru - času 't'. Budeme proměnné 't' nastavovat různé hodnoty a podle toho dopočítáme 'x' a 'y'. Výběr můžeme provést vcelku náhodně. 't' se rovná 0. A také případy pro 't' se rovná 1, 2 a 3. Když se čas rovná 0, kolik bude 'x'? 'x' bude rovno 10 (metrům). Když se čas rovná 1, kolik bude 'x'? Funkční hodnota v jedničce. To přesně znamená tento zápis. Takže, 5 krát 1 je 5. 5 plus 10 je 15. Funkční hodnota ve dvojce? 5 krát 2 plus 10 je dohromady 20. To přeci dává smysl. Každou sekundu se posouváme o 5 metrů doprava. Hodnota 'x' tedy narůstá o 5 metrů. Když je čas roven 3, výsledek funkce bude 25. Jednoduché. Pro 'y' to bude o něco složitější. Zde můžeme zkrátit, snad to vidíte. 10 děleno 2 je 5. Takže pro první případ máme 50 mínus 5 krát 't' na druhou. Čas se ale v tomto případě rovná 0. Výsledek je tedy 50. V čase rovném 1 máme 1 na druhou krát 5, to je 5. 50 mínus 5 je 45. V čase 1 budeme 45 metrů nad mořem. Je to správně? Ano. Jdeme dál. Pro další případ máme 2 na druhou, to se rovná 4. 4 krát 5 je 20. 50 mínus 20 je 30. Pro poslední případ, který jsme si zvolili, se čas rovná 3. 3 na druhou je 9. 9 krát 5 je 45. 50 mínus 45 je 5. Pojďme si výsledky vyznačit do grafu. Začneme případe 't' se rovná 0. Bod bude tady. Pro čas roven 1 máme 'x' rovno 15. Zpřesníme si osu 'x' - 5, 10, 15... 15, 20, 25. To samé uděláme pro osu 'y'. 10, 20, 30, 40, 50. Pro čas rovný 0 nám vychází bod o souřadnicích 10, 50. To je tady. Pro čas rovný 0 vychází bod 15, 45. 'x' je 15, 'y' je 45, to je zhruba tady. To je výsledný bod pro druhý případ. Pro třetí případ vychází bod o souřadnicích 20, 30. To je zhruba tady. Už máme tři body, zbývá poslední. Pro čas rovný 3 vychází bod o souřadnicích 25, 5. To je tady. Pokud bychom pokračovali, dostali bychom se s naším autem až na zem. Přesný bod nárazu se dá jednoduše spočítat, postavíme 'y' rovné nule a dopočteme zbytek. Pojďme do toho. Pokud se levá strana rovná 0, dostaneme 't' rovno odmocnině z 10. To je něco přes 3 sekundy. To dává smysl, že? Něco přes 3 sekundy a auto dopadne na zem. Ale jaká je konkrétní trajektorie pádu našeho auta? Bude vypadat asi následovně. Padá čím dál rychleji a rychleji... a BUM! Dotkne se země za 3 sekundy a nějaké drobné. Je docela zajímavé, že změnou parametru jsme nezískali jen samotnou křivku, že? Dostali jsme křivku, konkrétně poloviční parabolu, a mohli jsme vytknout 't' a dostat tak rovnici oné paraboly. To uděláme až v následujících videích. Co bylo však více zajímavé - zparametrizováním problému jsme získali směr pohybu auta. Kdybyste viděli jen tenhle graf bez auta, těžko byste byli schopní určit odkud kam se auto pohybuje. Když ale víme, že 't' se zvyšuje, posouváme se ve správném směru. Můžeme zde nakreslit nějaké šipky. Protože se jedná o parametrickou rovnici, můžeme do obrázku dokreslit šipky. Ale tou naprosto nejpodstatnější věcí je fakt, že známe polohu auta v jakémkoli okamžiku. Můžete si zvolit například čas rovný 1.25, dosadíte... a máte polohu auta v daném čase. Můžete si všechny body vynést do grafu a jistě vědět, že s postupem času auto zrychleně klesá dolů. To je samozřejmě důvod, proč 'y' souřadnice klesá s postupem času rychleji. Tento příklad jsem vám chtěl dát z jednoho důvodu. Ačkoli se jedná o zajímavý fyzikální problém, nechtěl jsem vás učit fyziku. Důvodem bylo ukázat vám dobrý příklad toho, proč vlastně parametrické rovnice existují. Tyto dvě věci reprezentují parametrické rovnice: Definovali jsme 'x' a 'y' jako funkce třetího parametru 't', místo toho, abychom definovali 'y' podle 'x' a naopak. Tak jsme to dělali dříve. Tento nový způsob je mnohem užitečnější. Představte si, že řešíte těžký fyzikální problém, kde chcete ve 3D prostoru zjistit polohu nějakého objektu. Pak máte 'x' jako funkci času, 'y' jako funkci času a 'z' jako funkci času. Pomocí parametrických rovnic lze řešit různé problémy, a to nejen z oblasti fyziky. Myslím si však, že nejlepší je začít řádnou motivací. Poprvé, když jsem se učil o parametrických rovnicích, jsem nechápal, proč si ničit všechna protivná 'x' a 'y' dalším parametrem 't'? Tady máte důvod. Protože můžete zjistit trajektorii různých předmětů. Můžete zjistit směr objektu, který se pohybuje po křivce. Můžete také zjistit přesnou pozici v jakémkoli čase (či jiné veličině, která bude třetím parametrem).
video