Jednotková kružnice

Snažil jsem se tu nakreslit jednotkovou kružnici. A tím "jednotková" myslím kružnici s poloměrem 1. Vzdálenost mezi středem, který je v počátku kartézské soustavy souřadnic, a kterýmkoliv bodem na kružnici je 1. Jaké budou souřadnice tohoto bodu, kde dochází k protnutí s osou x? No, "x" bude 1, "y" bude 0. [1,0] Jaké budou souřadnice tady nahoře? Šli jsme o 1 nahoru a neposunuli jsme se ani doprava, ani doleva. Naše "x" bude 0, naše "y" bude 1. Co tady vzadu? Naše "x" bude -1, protože jsme se posunuli o 1 doleva. Nahoru ani dolů jsme se neposunuli, takže "y" zůstane 0. A jak to bude tady dole? No, posunuli jsme se o 1 dolů, ve směru x jsme se nehnuli, takže "x" je 0 a "y" v tomto případě -1. To bychom měli. Teď si nakreslím úhel. Ještě si rozdělíme úhly na dva druhy. Počáteční rameno úhlu umístím vždy na kladné straně osy x. Můžete o ní uvažovat jako o počátečním rameně úhlu. Jeden druh úhlu vytvoříme tak, že ho odtud povedeme proti směru hodinových ručiček. To je kladný směr. Jdeme proti směru hodinových ručiček. Tento postup je nejběžnější. Já se jím budu také řídit. Druhý typ úhlu, záporný směr, půjde po směru hodinových ručiček. Nakreslíme si úhel v kladném směru. Kladný směr by mohl vypadat nějak takto. Tady je jeho počáteční rameno. Odtud jdu proti směru hodinových ručiček, dokud nenaměřím potřebný úhel. A tady je koncové rameno. Máme úhel v kladném směru, θ (theta). Zamysleme se nad tímto průsečíkem koncového ramena s jednotkovou kružnicí. Řekněme, že má souřadnice [a,b]. "a" značí hodnotu "x" a "b" vyjadřuje hodnotu "y". Účelem je pomocí jednotkové kružnice zlepšit znalosti trigonometrických funkcí. K tomu potřebujeme, aby byl náš úhel θ součástí pravoúhlého trojúhelníku. Toho docílíme tak, že si tady dokreslíme výšku. A aby bylo jasné, že jde o pravý úhel, označím si ho. θ je součástí tohoto trojúhelníku. Podívejme se, co se dá zjistit o stranách našeho pravoúhlého trojúhelníku. Nejprve se vás chci zeptat na délku jeho přepony. Je to poloměr jednotkové kružnice. A ten se rovná 1. Délka přepony je tedy 1. Jaká je délka této modré strany? Jinak o ní můžeme uvažovat jako o protilehlé straně k úhlu θ. Velikost výšky je stejná jako hodnota y-ové souřadnice průsečíku [a,b]. Tato výška se bude rovnat "b". Y-ová souřadnice je vyjádřena "b", i výška rovná "b". Teď použijeme stejný postup ke zjištění základny trojúhelníku. Bude se rovnat hodnotě x-ové souřadnice průsečíku [a,b]. Tady najdeme bod x rovná se "a". Vzdálenost mezi počátkem a tímto bodem je délka "a". To bychom měli. Čemu se bude rovnat kosinus našeho úhlu s použitím "a" a "b"? K tomu potřebujeme definice goniometrických funkcí. Nic víc než jejich definice zatím neznáme. Brzy ale své znalosti rozšíříme. Pro kosinus úhlu platí, že ho vypočítáme jako přilehlá strana lomeno přepona. Takže kolik to bude? K tomuto úhlu je přilehlá strana "a". Bude se to tedy rovnat "a" děleno... Jaká je délka přepony? No přece 1... Kosinus θ se tedy rovná jen "a"... Napíšu si to... Kosinus θ se rovná "a". Je roven x-ové souřadnici bodu, kde se koncové rameno úhlu protíná s jednotkovou kružnicí. Zamysleme se nad sinem θ. Ten udělám... Oranžově. Čemu se bude rovnat sinus θ? Podle definice ho vypočítáme jako protihlehlá strana lomeno přepona. Protilehlá strana má délku "b", délka přepony je 1. Sinus θ se tedy rovná "b". Zajímavé je, že bod [a,b], kde se protíná koncové rameno s jednotkovou kružnicí, můžeme vyjádřit jako... "a" je to samé jako kosinus θ a "b" je to samé jako sinus θ. To je zajímavé, ke zjištění nám stačily definice goniometrických funkcí. Teď, můžeme to nějakým způsobem použít? Protože je v těchto definicích háček. Fungují v případě, že máme úhel větší než 0° a menší než 90°. Pak bude úhel v našem pravoúhlém trojúhelníku. Definice se hroutí, jakmile se náš úhel rovná 0, je v záporném směru, nebo má více než 90°. Nemůžete mít pravoúhlý trojúhelník se dvěma 90° úhly. Přestává to fungovat... Trochu si to vyjasníme. Tady máme pravoúhlý trojúhelník. Tento úhel je poměrně velký. Můžu ho ještě zvětšit a stále mít pravoúhlý trojúhelník. Dokonce ještě víc... Ale nemůžu jít až na 90°. Tam už není zřejmé, že jde o pravoúhlý trojúhelník. Zdá se, že definice selhávají. Hlavně v případě, kdy jdeme až za 90°. Podívejme se, jestli to můžeme použít k vytvoření nových definic. Ve skutečnosti jde jen o rozšíření těch původních. Jsou s nimi v souladu. Místo definic typu "Když máme pravoúhlý trojúhelník, kosinus je přilehlá strana ku přeponě, sinus je protilehlá strana ku přeponě a tangens je protilehlá strana ku přilehlé", proč jen neřekneme, že jakýkoliv úhel můžu vepsat do jednotkové kružnice na základě tohoto pravidla, kosinus toho úhlu je pak roven x-ové souřadnici průsečíku jeho koncového ramena s jednotkovou kružnicí. X-ová souřadnice bodu, kde se koncové rameno úhlu protíná s jednotkovou kružnicí. Sinus θ se pak rovná y-ové souřadnici průsečíku koncového ramena s jednotkovou kružnicí. V podstatě pro jakýkoliv úhel platí, že je jeho sinus a kosinus určen bodem. Jak bychom mohli definovat tangens θ? Původní definice goniometrických funkcí nám říká, že ho vypočítáme jako sinus ku kosinu. V tomto případě to bude y-ová souřadnice průsečíku s jednotkovou kružnicí dělená jeho x-ovou souřadnicí. V příštích videích si ukážeme příklady využití jednotkové kružnice k výpočtu goniometrických funkcí.