Lineární algebra
Přihlásit se
Lineární algebra (17/29) · 15:47

Úvod do vektorového součinu Představení vektorového součinu; Cross product introduction

Navazuje na Algebra: Posloupnosti.
Skalární součin už známe. Ale když jsme s ním začínali, říkal jsem, že je to pouze jeden ze způsobů, jak násobit vektory. Další způsob násobení je vektorové, které už pravděpodobně znáte z počítání s vektory nebo z fyziky. Ale vektorový součin je ve skutečnosti mnohem více omezený než skalární součin. Je užitečný, ale omezený. Skalární součin je definován pro libovolný počet dimenzí. Takže je definován pro každé dva vektory, které jsou prvky Rn. Můžete spočítat skalární součin dvou vektorů o dvou složkách. Můžete uvažovat skalární součin vektorů, které mají milion složek. Vektorový součin je definován pouze v R3. A další, asi hlavní rozdíl je, že skalární součin, a to uvidíme za chvíli, kdy zadefinujeme skalární součin, ještě jsem jej nedefinoval... Výsledkem skalárního součinu je skalár. Vezmete skalární součin dvou vektorů, a dostanete číslo. Ale výsledkem vektorového součinu je, jak uvidíte, jiný vektor. Vektor, který dostaneme, je ortogonální vzhledem ke dvojici vektorů, které mezi sebou násobíme. Tak jsem vás namotivoval a nyní napíšu definici. Pravděpodobně jste ji za svou matematickou kariéru už jednou či dvakrát viděli. Řekněme, že mám vektor ,a'. Musí být prvkem R3, takže má 3 složky: ,a1', ,a2' a ,a3'. Budu jej násobit vektorem ,b', který má 3 složky: ,b1', ,b2' a ,b3'. součin ,a' krát ,b' je definován jako vektor. Nyní se to bude zdát trochu podivné a těžké na zapamatování, protože je to definice. Ale ukážu vám, jak na to, když máte vektory rozepsané ve sloupcové formě. Můžete se podívat na fyzikální videa. Je tam pár videí o vektorovém součinu, ve kterých ukazuji, jakým způsobem spočítat vektorový součin v i, j, k tvaru. Ale jestliže mám pouze tento tvar, pak první člen zde dostanu další vektor z R3, takže bude mít 1, 2, 3 složky. Pro první složku ignorujete tyto dvě horní čísla, díváte se na dvě spodní a počítáte ,a2' krát ,b3' minus ,a3' krát ,b2'. Jestli jste viděli video o determinantech, které jsem natočil… Formálně jsem je v tomto playlistu lineární algebry zatím nezavedl. Ale možná znáte pojem kofaktor. Počítání kofaktoru a determinantu pro matici 2x2 se může zdát velice podobné. Takže tato první složka je v podstatě determinant. Zbavíte se první složky u obou vektorů a dostanete ,a2' krát ,b3' minus ,a3' krát ,b2'. Takže to je ,a2' krát ,b3' minus ,a3' krát ,b2'. Snad to bylo jasné. Nyní, abych vám nekomplikoval život, když počítáte druhý, když počítáte prostřední řádek, když počítáte tento řádek, tak vynecháte toto. Dostali byste ,a1' krát ‚b3‘ minus ,a3' krát ,b1'. A bylo by to správně, protože jsme to tak udělali i předtím. U prostředního řádku ale počítáte ,a3' krát ,b1' minus ,a1' krát ,b3'. Nebo si to můžete vzít jako opak toho co byste počítali přirozeně. Počítali byste ,a1' ,b3' minus ,a3' ,b1'. Ale my vezmeme ,a3' ,b1' minus ,a1' ,b3'. Minus ,a1' ,b3'. Takže máme prostřední řádek. Pro počítání spodního prvku budeme ignorovat spodní řádek. A dostaneme ,a1' krát ,b2', stejně jako v prvním řádku krát ,a2' ,b1'. Nebo minus ,a2' ,b1'. Toto se ale špatně pamatuje. Upravím si to do tvaru, o kterém jsem právě mluvil. Může se to zdát trochu divné. Udělám s vámi pár příkladů, abyste pochopili definici vektorového součinu v R3. Takže dejme tomu, že mám vektor... řekněme, že mám vektor 1, -7 a 1. Budu jej násobit vektorem 5, 2, 4. Výsledkem bude třetí vektor. Udělám si trochu místa na výpočet. Takže pro první složku výsledného vektoru ignorujeme první složky součinitelů a dostaneme -7 krát 4 minus 1 krát 2. Minus 1 krát 2. Toto je normální násobení nikoli skalární součin. Toto jsou pouze čísla. Pro prostřední složku ignorujeme prostřední složky zde a počítáme opačně. Máme 1 krát 5 minus 1 krát 4. Minus 1 krát 4. Možná byste počítali 1 krát 4 minus 1 krát 5, protože tak jsme to dělali v první složce. Ale u prostřední složky se to dělá naopak. A nakonec u třetí složky se nedíváme na třetí složky zde a znaménka jsou stejná jako u první složky. Začnete vlevo nahoře 1 krát 2 minus 7. Toto dám do závorky. Minus -7 krát 5. Takže dostáváme... Co dostáváme? Minus 7 krát 4. Nechci zde udělat zbytečnou chybu. To je -28. minus 2. To je -30 v první složce. Toto je 5 minus 4. To je minus... 5 minus 4 je vlastně 1. A nakonec 2 minus -35. Takže 2 minus -35. To je 2 plus 35, to je 37. A je to. Doufám, že rozumíte alespoň myšlence vektorového součinu. Další věc. Můžu spočítat vektorový součin dvou vektorů. Ale k čemu je to dobré? Co to znamená? Odpověď zní, že tento třetí vektor... A nezávisí na tom, zda bereme abstraktní vektor nebo vektor s čísly. Je ortogonální ke dvěma vektorům, jejichž vektorový součin jsme počítali. Takže tento vektor je ortogonální k vektorům ,a' a ,b'. Což je velmi užiteční. Když si vzpomenete na poslední video, kde jsme mluvili o vektorech kolmých na rovinu, můžeme určit... Rovinu můžeme určit dvěma vektory. Určeme rovinu. Řekněme, že zde je vektor ,a' a zde je vektor ,b'. Zde je vektor ,b'. Tyto vektory určují rovinu v R3. Teď si zavedu plochu. Takže všechny lineární kombinace těchto vektorů tvoří rovinu v R3. Tuto rovinu můžete uvažovat jako podprostor v R3. To je rovina. Vektorový násobek ,a' krát ,b' je třetí vektor ortogonální ke dvěma předchozím. Takže ,a' krát ,b' vypadá takto. Bude ortogonální k oběma vektorům. Takže zde máme vektor ,a' krát ,b'. Můžete se ptát, jak jsem to věděl. existuje více ortogonálních vektorů. Důležitá je délka vektoru, zde jsem ji blíže neurčil. Vektor by mohl vést až sem nahoru stejně tak by mohl jít přímo dolů. Taky by byl ortogonální k ,a' a ,b'. Z definice vektorového součinu ,a' krát ,b' můžete v podstatě jednoduše odvodit směr výsledného vektoru pomocí tzv. pravidla pravé ruky. Takže použijete svoji pravou ruku. Snad dokážu nakreslit pěknou pravou ruku. Ukazováček necháte směřovat ve směru vektoru ,a'. Takže směřujete ukazováčkem ve směru ,a' a prostředníčkem ve směru ,b'. Takže můj prostředníček bude vypadat nějak takto. Toto je můj prostředníček. Ostatní prsty mě nezajímají. Potom můj palec ukazuje ve směru vektorového součinu ,a' krát ,b'. Můžete to vidět zde. Můj palec ukazuje směr ,a' krát ,b'. Za předpokladu, že máme stejné ruce dostanete stejný výsledek. Celé to nakreslím znova. Takže to je vektor ,a'. Vektor ,b' jde tímto směrem. Snad váš palec neukazuje směrem dolů. Vidíte, že ,a' krát ,b' bude v tomto případě směřovat nahoru a bude ortogonální k ,a' i ,b'. Takže abysme v tom měli jasno, tento vektor zde je určitě ortogonální nebo taky tento je rozhodně ortogonální k oběma vektorům zde. Zamysleme se nad tím a uvidíme, že je to tak. Co znamená ortogonální? Jaká je naše definice pojmu ortogonální? Ortogonální vektory. Vektory ,a' a ,b' jsou ortogonální, právě tehdy když je jejcich skalární součin roven 0. Protože rozdíl mezi ortogonálními a kolmými vektory spočívá v tom, že ortogonální můžou být i nulové vektory. Takže toto by klidně mohly být nulové vektory. Všimněte si, že nebylo řečeno, že tyto vektory musí být nenulové. Za chvíli se budeme zabývat úhly mezi vektory a tam musíte brát vektory nenulové. Ale když se bavíme o vektorovém součinu, není důvod proč by žádné z těchto čísel nemohlo být 0. Teď ukážu proč je ,a' krát ,b' určitě ortogonální k ,a' i ,b'. Myslím, že vám to pomůže k pochopení. Přepíšu zde ,a' krát ,b'. Moc se mi to nechce opisovat. OK. Musím to vložit. OK, zkopíroval jsem s tím i trochu zbytečností. Takže ho vynásobím skalárně s vektorem ,a' což je ,a1', ,a2', ,a3'. Takže jak vypadá ten skalární součin? Tento prvek krát tento, to je ,a1'... napíšu to sem dolů. To je ,a1' krát ,a2',b3' minus ,a1' krát toto. Minus ,a1' krát ,a3', ,b2'. A ještě plus toto krát toto. Takže plus ,a2' krát ,a3', takže plus ,a2' krát ,a3' krát ,b1'. a ještě minus ,a2' ,a1' ,b3'. A nakonec... budu pokračovat tady dole. Plus ,a3' krát ,a1' ,b2' minus ,a3' krát ,a2' ,b1'. Vše, co jsem udělal je, že jsem počítal skalární součin těchto dvou vektorů. Vzal jsem pouze všechno odsud. Tento člen krát tento se rovná těmto dvěma. Tento krát toto se rovná dalším dvěma, to se rovná těmto dvěma. A tento prvek krát tyto dva se rovná těmto dvěma členům. A jestli jsou ty vektory opravdu ortogonální, pak by se to mělo rovnat 0. Tak se na to podívejme. Takže máme ,a1' ,a2' ,b3' a zde odčítám stejný člen. Toto je to stejný ,a1' ,a2' ,b3', akorát s minus. Takže to se vyruší. Takže, co zde máme dál? Máme zde minus ,a1' ,a3' ,b2'. A tady je plus ,a1' ,a3' ,b2', takže se to odečte. A snad už vidíte, kam to směřuje. Zde máme ,a2' ,a3' ,b1' a minus ,a2' ,a3' ,b1' zde. Takže to se taky vyruší. Teď jsem ukázal, že tento vektor je ortogonální k ,a'. Dále ukážu, že je ortogonální i k ,b'. Takže máme další vektorový součin dvou vektorů. Trochu sjedu dolů. A jdu na to. Násobím toto vektorem ,b'. ,b1', ,b2' a ,b3'. Udělám to zde, abych měl dost prostoru. Takže ,b1' krát toto všechno zde je ,b1' ,a2' ,b3' minus ,b1' krát toto. Minus ,b1' ,a3' ,b2'. Jenom změním barvu. A potom vynásobím ,b2' s tímto. Takže to bude kladné. Toto celé je jeden výraz, jenom je to rozepsané na více řádcích. Není to vektor. Protože když počítáte skalární součin dvou vektorů, výsledkem je číslo. Takže plus ,b2' krát toto. ,b2' ,a3' ,b1' minus ,b2' ,a1' ,b3'. A nakonec ,b3' krát toto. Takže plus ,b3' ,a1' ,b2' minus ,b3' ,a2' ,b1'. Takže jestliže jsou tyto vektory ortogonální, pak se toto musí rovnat 0. Podívejme se, jestli je tomu tak. Máme ,b1' ,a2' ,b3'. Takže ,b1' a ,b3'. ,b1' ,a2' ,b3' je kladné a toto je je záporné. Máme ,b3', ,a2' a ,b1', takže toto a toto se odečte. Zde máme minus ,b1' ,a3' ,b2'. Takže máme ,b1' a ,b2'. To je minus ,b1' ,a3' ,b2'. Toto je stejný výraz, ale kladný. Pouze bylo změněno pořadí násobení. Ale toto jsou stejné výrazy. Jsou si navzájem opačné takže se odečtou. A nakonec tu máme ,b2' ,a1' ,b3'. To je záporné. A zde máme stejný výraz, akorát kladný. Takže tyhle dva členy se vyruší. Vidíte, že toto je taky 0. Snad jsem vás přesvědčil, že tady tento vektor je určitě ortogonální k vektorům ,a' i ,b'. Tak byl vektorový součin zaveden. To je jeho definice. Mohli byste se tím chvíli zabývat, a aniž bych vám o tom cokoli vysvětloval, určitě byste na tu definici přišli sami. Ale očividně byl vektorový součin zaveden tak, že má i jiné zajímavé vlastnosti. Ty popíšu v následujících několika videích. Snad vám budou užitečná.
video