Lineární algebra
Přihlásit se
Lineární algebra (6/29) · 5:44

Násobení vektoru skalárem Co se stane, když vynásobíme vektor číslem?

Navazuje na Algebra: Posloupnosti.
Řekněme, že mám vektor ‚a‘, který má souřadnice 2, 1. Můžeme ho tedy nakreslit přímo tady. Takže souřadnice 2, 1, když začneme v počátku a posuneme se o 2 v horizontálním směru a o 1 ve směru vertikálním, tak skončíme přímo tady. Teď bych se chtěl podívat, jak můžeme definovat násobení vektoru skalárem. Například, kdybychom chtěli vektor ‚a‘ vynásobit číslem 3. Což je to stejné, jako říct 3 krát 2, 1. 3 je pouze číslo. Velikost skaláru si můžeme představit jako číslo, zatímco vektor říká, o kolik a kam se pohybujeme v různých směrech. Vektor udává velikost i směr. Zatímco tohle je pouze obyčejné číslo. Ale jak definujeme násobení tohoto vektoru 3? Co by vás mohlo napadnout je: ,,Proč nevynásobíme číslem 3 jednotlivé složky?" To by se rovnalo... Máme 2 a 1... A obě čísla vynásobíme 3. Takže 3 krát 2 a 3 krát 1. A výsledný vektor bude stále ještě vektorem v rovině (2D). A bude to vektor 6, 3. Teď si vezměte milimetrový papír a zakreslete si na něj tento vektor. A zamyslete se nad tím, jak souvisí s tímto vektorem. Udělejme to... Takže vektor 6, 3… Když začneme v počátku, tak se posuneme o 6 horizontálně... 1, 2, 3, 4, 5, 6... a o 3 vertikálně. 1, 2, 3... Dostali jsme se sem, takže to bude vypadat nějak takhle. Co se s vektorem právě stalo? Jednou možností je uvažovat, co se na tomto vektoru změnilo a co ne? To, co se nezměnilo je, že vektor stále ukazuje stejným směrem. Tento má stejný směr. Násobení skalárem, alespoň tak, jak jsme si ho definovali, nezměnilo směr vektoru. Alespoň v tomto případě ne. Změnilo však jeho velikost. Vektor je nyní 3 krát delší a to dává smysl. Vynásobili jsme ho totiž 3. Takže jsme ho vlastně třikrát zvětšili. Skalár "naškáloval" (zvětšil) vektor. To může dávat smysl. Z toho můžeme vytušit, odkud se vzalo slovo skalár. Vynásobíme-li vektor skalárem, měníme jeho velikost. Zvětší se 3 krát jeho velikost, ale jeho směr se nezmění. Zkusme něco zajímavého. Vynásobíme náš vektor záporným číslem. Pro jednoduchost ho vynásobíme číslem -1. Vynásobíme vektor ‚a‘ číslem -1. Když použijeme to, na čem jsme se dohodli, vynásobíme každou složku číslem -1. Takže 2 krát -1 je -2 a 1 krát -1 je -1. Takže vynásobeno -1 je náš vektor teď -2, -1. Začneme-li v počátku, horizontálně se posuneme o -2 a ve vertikálně o -1. Co se teď s vektorem stalo, když jsem to udělal? Vektor se obrátil opačným směrem! Když jsme ho vynásobili číslem -1, otočil se opačně. Jeho velikost se nezměnila, ale ukazuje přesně opačným směrem. Když vynásobíme vektor záporným číslem, tak změní směr, což dává smysl. Stejně tak k tomu došlo, když jsme se zabývali číselnou osou. Když jsme vynásobili číslo 5 číslem -1, tak jsme se dostali k číslu -5, o 5 doleva od 0. Dává tedy smysl, že násobení záporným číslem obrací směr. Takže si představte, že vektor ‚a‘ vynásobíme číslem -2, -2 krát vektor ‚a‘ A teď vám doporučuji video pozastavit. Zkuste si to sami. K čemu to povede? A jak bude vypadat nákres vektoru? Podívejme se, bude se to rovnat -2 krát 2, to je 4. A -2 krát 1, což je -2. Takže tento vektor... ...začneme-li v počátku! V počátku však začínat nemusíme... Kdybychom tam však začali... Tak to bude: 0, 1, 2, 3, 4... 1, 2... Vypadalo by to takhle. Jen si připomeňme, že náš původní vektor vypadal takhle. 2, 1 vypadá takhle. A když jsme ho vynásobili -2, dostali jsme vektor, který vypadá takto. Nakreslím ho takhle. Schválně jsem je nezakreslil z počátku, protože tam NEMUSÍ začínat. Ale dostaneme vektor, který vypadá takto. Takže jaký je rozdíl mezi vektorem ‚a‘ a vektorem -2 krát a? Záporné znaménko ho převrátilo, a je 2 krát větší. Kvůli zápornému číslu je 2 krát větší a ukazuje opačným směrem.
video