Lineární algebra
Přihlásit se
Lineární algebra (25/29) · 7:18

Sarrusovo pravidlo Rychlý způsob, jak počítat determinant matice 3x3 Sarrusovým pravidlem.

Navazuje na Algebra: Posloupnosti.
Nechci vás zbytečně zatěžovat tím, že vám budu ukazovat všechny různé způsoby, jak lze najít determinant matice, ale myslím, že s tímto způsobem se určitě setkáte. Myslel jsem, že bych vám alespoň ukázal, že to, co jsme se zatím dozvěděli, je v naprostém souladu s tím, jak jste se učili hledat determinant v předmětu Algebra II. Nazývá se to Sarrusovo pravidlo. Dovolte mi to dokázat. Řekněme, že chceme najít determinant. Chceme najít tento determinant. Naše matice je [a, b, c; d, e, f; g, h, i]. Už víme, jak na to. Rovná se to... postupujme podle prvního řádku, a krát determinant [e, f; h, i] minus b, minus b krát determinant [d, g; f, i] plus c krát determinant [d, e; g, h]. A čemu se to rovná? Bude se to rovnat ‚a‘ krát... zapíšu to... a krát (ei minus fh). Toto bude minus b krát (di minus fg). A to se rovná plus c krát (dh minus eg). Když to roznásobíme, dostaneme aei mínus afh minus bdi plus... správně, minus krát minus... plus bfg plus cdh minus ceg. Ještě seskupíme kladné a záporné výrazy. Tento výraz je kladný, tento výraz je kladný a tento je také kladný. Máme tedy aei plus bfg plus cdh. Tohle jsou naše kladné výrazy. A teď záporné výrazy. Tento výraz je záporný, tento a tento výraz. Máme minus afh minus bdi minus ceg. To je vzorec pro výpočet determinantu této matice. Podívejme se, jak vlastně vypadá. Přepíšu to. Přepíšu naši matici. Udělám to zelenou. Máme [a, b, c; d, e, f; g, h, i]. Chtěli jsme najít její determinant. Ukážu vám teď něco zajímavého. Co je aei? aei je součin tohoto čísla, tohoto a tohoto čísla. V podstatě postupujeme podél této úhlopříčky. A co je bfg? Vezmeme tohle číslo, tohle číslo, a potom číslo tady dole. Představte si, že vycházíte z této strany a pak z této strany. Je to jako nějaká videohra, kde vejdete tady a vyjdete zde. Je to také úhlopříčka. Ještě lepší způsob, jak si to představit, když zde dopíšu tyto dva sloupce. Rozšířím takto determinant. Není to sice přesná terminologie, ale asi chápete, co chci říct. Přepíšu sem tedy první dva sloupce, a, d, g a ještě b, e, h. Člen bfg je právě tento, tato diagonála. A už asi uhádnete, co se stane. Kde je cdh? Je to tato diagonála. Je to právě tato diagonála. Sečtěte tyto tři součiny dohromady. Potom odečtete tyto členy. Co je to vlastně za členy? Co je afh? afh je přesně tady. Odečtete afh a potom odečtete bdi. bdi je právě tady. A dále máme ceg, což je přesně tady. Sarrusovo pravidlo trochu zní jako něco z Pána prstenů. Sarrusovo pravidlo je v podstatě rychlý způsob, jak si zapamatovat tento krátký postup. Opíšete znovu první dva sloupce a potom je to tento součin plus tento součin plus tento součin minus tento součin, minus tento součin a minus tento součin. Vyzkoušejme to na matici 3x3, abychom ukázali, jak Sarrusovo pravidlo využít. Mějme tedy matici... Určíme determinant matice [1,2,4; 2, -1,3; 4, 0, -1]. Chceme najít její determinant. Podle Sarrusova pravidla můžeme přepsat první dva sloupce. Tedy 1, 2, 2, -1, 4, 0. Přepsali jsme první dva sloupce. Abychom našli determinant, vezmeme tento člen. Co to bude? 1 krát -1 krát -1. To je 1. Správně, mínusy se vyruší. Plus tento člen, plus tento součin. Měl bych kreslit trochu lépe. Co je tohle? 2 krát 3 krát 4. 2 krát 3 je 6. 6 krát 4 je 24, plus 24. A potom vezmeme tento člen. 4 krát 2 krát 0, cokoliv krát 0 je 0. Takže to bude 0. A potom odečteme tyto členy. Máte tedy 4 krát 4 krát -1. To je -16. Je to sice -16, ale budeme v minusové části vzorce. Tedy 4 krát -1 krát 4 je -16, ale budeme to odčítat, takže dostaneme plus 16. To je tedy 16. Potom máte 0 krát 3 krát 1. To bude samozřejmě 0. Byla by to minus nula, ale můžeme to vynechat. Můžeme říct, že plus 0 nebo minus 0 je to samé. Pak máme -1 krát 2 krát 2. To je 4 krát -1, což je -4. Když postupujete směrem z pravého horního rohu do levého dolního rohu, budete odčítat. Bude to tedy -4 ,ale protože odčítáme, dostaneme plus 4. Hodnota našeho determinantu se rovná, podle Sarrusova pravidla, 16 plus 4 je 20 plus 20 plus 25 se rovná 45. Musím říct, že je to rychlejší způsob, jak počítat determinant matice 3x3. Tento způsob je to naprosto ekvivalentní definici, kterou jsem vám ukazoval v jednom z předchozích videí.
video