Lineární algebra
Přihlásit se
Lineární algebra (2/29) · 5:49

Pokročilý úvod do vektorů. Co je to vektor?

Navazuje na Algebra: Posloupnosti.
Vektor je objekt, kterému můžeme přiřadit velikost a směr. Nyní si na několika příkladech si ukážeme co je a co není vektor. Pokud o nějakém objektu víme, že se pohybuje rychlostí 5 mil za hodinu, tak nám to nebude stačit k jednoznačnému určení vektoru. Víme, jakou rychlostí se objekt pohybuje, ale nevíme kterým směrem. Tohle čísle je tedy pouze velikost rychlosti, a to není vektorová veličina. Je to veličina skalární. Pokud bychom chtěli mít vektor, museli bychom znát i směr pohybu. Můžeme například říct: „Pohybuje se směrem na východ, rychlostí 5 m/h“. Tyto dvě informace dohromady nám dávají vektorovou veličinu, které neříkáme rychlost, ale ‚vektor rychlosti‘. Máme dánu velikost rychlosti - 8 km/h, i její směr - východ. Jak si to ale představíme? Budeme pracovat ve dvourozměrném prostoru. Díky kouzlu lineární algebry můžeme mnoho vztahů, platných pro dva rozměry, uplatnit i na prostory o třech a více dimenzích. Lidský mozek si těžko představí vícerozměrný prostor, ale díky lineární algebře si s ním matematicky poradíme, což uvidíme v příštích videích. Vrátíme se k našemu dvourozměrnému vektoru. Můžeme ho třeba zaznačit šipkou, dlouhou 5 jednotek, kde každá jednotka představuje jednu míli za hodinu a která směřuje doprava, za předpokladu, že východ je vpravo. Šipku začnu kreslit například tady a bude dlouhá 5 jednotek. Délka šipky představuje velikost rychlosti... takže 1, 2, 3, 4, 5. A směr vektoru je dán tím, kam šipka míří. Takže tahle šipka může znázorňovat tenhle vektor, za předpokladu, že kladný směr horizontální osy směřuje na východ, tohle je západ, tohle sever a tohle jih. Vektory jsou zajímavé tím, že nás zajímá pouze jejich velikost a směr. Když je takhle kreslíme, není důležité, kde začínají, kde jsou umístěné. Například tenhle vektor je totožný s tímto. Má stejnou velikost - pět, a také směřuje na východ. Tyhle vektroy jsou totožné. Jak ale vektory popíšeme matematicky, abychom je nemuseli pokaždé kreslit a abychom s nimi mohli začít počítat. Vektrory obyčejně značíme malými písmeny, v publikacích tištěné tučným písmem a v psaném textu doplněné šipkou nahoře. Když řekneme: „východně, 5 mil za hodinu“, není jasné, jak s tím počítat, dvourozměrný vektor tedy zapisujeme jako dvě čísla, která určují, kam nás posouvá daný vektor podél dané osy. Tento vektor se posouvá pouze v horizontálním směru a píšeme-li horizontální rozměr první, vektor zapíšeme jako 5, 0. V horizontálním směru se posouváme o 5 jednotek a ve vertikálním vůbec. Můžete se setkat i s jinými způsoby zápisu. V lineární algebře se vektory píší takhle do sloupců: 5, 0. První souřadnice udává, o kolik se posuneme v horizontálním směru a druhá o kolik se posuneme ve směru vertikálním. Existují i zajímavější vektory. Například tenhle má v horizontálním rozměru souřadnici 3 a ve vertikálním 4. 1, 2, 3, 4. Bude vypadat přibližně takto. Tohle je jiný vektor, kterému budeme říkat vektor ‚a‘... označím ho jako vektor... a pokud ho rozložím, v horizontálním směru nás posouvá o 3 jednotky a ve vertikálním o 4. To je zřejmé, pokud si představíme, o kolik se posuneme nahoru a doprava, začneme-li na počátku šipky a posuneme-li se k jejímu konci. Tento vektor tedy zapíšeme jako 3, 4. Pomocí Pythagorovy věty zjistíme délku vektoru. Je to trojúhelník o stranách délky 3, 4 a 5, má tedy velikost 5. Při dalším studiu lineární algebry tohle aplikujeme ve více rozměrech. 3 rozměry si ještě představíme, 4 jsou už spíš abstraktní, a proto je důležitý tento zápis. Těžko si totiž představíme 4, 5 nebo 20-rozměrnou šipku.
video