Logaritmy - úvod

Podíváme se na logaritmy, které úzce souvisí s umocňováním. Umocňování jistě dobře známe, například když umocníme dvě na čtvrtou, znamená to, že vynásobíme čtyři dvojky mezi sebou. Tedy 2 krát 2 krát 2 krát 2, což je 16. Logaritmy řeší opačný problém. Tedy známe základ mocniny a známe výsledek. A otázka je, jaký je správný exponent. Tedy dvě na x je šestnáct. Jinými slovy hledáme, na kolikátou umocnit číslo 2, aby výsledek byl 16. A to můžeme právě přepsat pomocí logaritmu. Zápis vypadá takto: log, jako značka logaritmu, poté jako dolní index píšeme základ mocniny. Poté následuje výsledek, to je argument logaritmu a to se rovná hledanému exponentu, tedy x. V tomto případě víme, že výsledek je 4, že x je 4, protože 2 na čtvrtou je 16. A proto i výsledek tohoto logaritmu je 4. Tyto dva zápisy, ať už pomocí rovnice 2 na x je 16, nebo logaritmus o základu 2 z 16 je rovno x, jsou úplně rovnocenné a tento algoritmus si můžeme pro sebe překládat jako 2 na kolikátou je 16? Tedy hledáme vhodný exponent, který při umocnění 2 dává výsledek 16. A odpověď je 4 tedy na čtvrtou. Podíváme se ještě na pár příkladů logaritmů a vyhodnotíme je. Nejprve logaritmus o základu 3 čísla 81. Je roven x. x je hledaný exponent. Možná vám připadá srozumitelnější zápis pomocí rovnice 3 na x je 81. Znamená to úplně to samé. Zkusíme tedy umocnit číslo 3 a uvidíme, jaký je správný exponent. 3 krát 3 je 9, krát 3 je 27, krát 3 je 81, což je hledaný výsledek. Museli jsme tedy umocnit na čtvrtou. Proto výsledek x je rovno čtyřem a stejně tak logaritmus o základu 3 čísla 81 je 4. Pojďme na další příklad. Uděláme si na něj trochu více místa. Vypočítáme logaritmus o základu 6 čísla 216. Ptáme se tedy šest na kolikátou je 216? Opět budeme umocňovat číslo 6, až dojdeme ke správnému výsledku. 6 krát 6 je 36, to je málo, krát 6 je 216. Stačí tedy umocnit na třetí a proto výsledek logaritmu je 3. Pojďme na další příklad. Tentokrát spočítáme logaritmus čísla 64 o základu 2. Budeme tedy umocňovat číslo 2, až dojdeme k číslu 64. 2 krát 2 krát 2 je 8, krát 2 je 16, krát 2 je 32, krát 2 je 64. To jsme tedy umocnili celkem na šestou a proto výsledek logaritmu je 6. Nakonec zkusme trochu netradiční příklad: logaritmus o základu 100 čísla 1. Ptáme se tedy: 100 na kolikátou je 1. Nemá cenu začít stovku nijak násobit. To by se výsledek akorát zvětšoval. Ale je dobré si vzpomenout, že jakékoliv kladné číslo na nultou, tedy i 100 na nultou, je 1. Proto je hledaný exponent i logaritmus roven 0. A obecně platí, že logaritmus s kladným základem, jiné logaritmy ani uvažovat nebudeme, čísla 1 je vždy roven 0, Protože jakékoliv kladné číslo na nultou je rovno jedné.