Algebra: Logaritmy
Přihlásit se
Algebra: Logaritmy (9/11) · 4:49

Logaritmus mocniny Logarithm of a power

Navazuje na Algebra: Mocniny a odmocniny.
Máme zjednodušit logaritmus o základu 5 z x na třetí. A opět to prostě jenom přepíšeme jiným způsobem. Můžete polemizovat, jestli to bude jednoduší nebo ne. A vlastnost logaritmů, kterou bychom měli použít pro tento případ je vlastnost, že když vezmu logaritmus o základu 'x' z... vyberme další písmena, z hodnoty 'y' na 'z', že je to to stejné, jako 'z' krát logaritmus o základu 'x' hodnoty 'y'. To je vlastnost logaritmu. Když mám logaritmus o daném základu z něčeho na mocninu, tak můžu vzít tu mocninu dopředu a vynásobit jí logaritmus se stejným základem hodnoty 'y' v tomto případě. Takže aplikujeme tuhle vlastnost tady. A příště, až budu dělat tento příklad, popovídám o tom, proč to vlastně dává dost dobrý smysl. Vychází to přímo z vlastností exponentů. Když to prostě aplikujeme tady, máme logaritmus o základu 5 z 'x' na třetí. Tohle je exponent. Je to to stejná věc, jako 'z', takže to bude stejné jako... použiji jinou barvu ta 3 je to stejné, můžeme ji dát dopředu Je to to stejné jako 3 krát logaritmus o základu 5 z 'x'. A jsem hotovi, tohle je jen jiný způsob, jak to napsat, s použitím té vlastnosti. A můžete říct, že tohle je možná, je to zjednodušení, protože jsme dostali exponent ven z logaritmu a teď násobíme logaritmus tím číslem. Pojďme se podívat, proč to vůbec dává smysl. Řekněme, že víme, že 'a' na 'b' je rovno 'c'. A když tohle víme, je to napsáno jako exponenciální rovnice, pokud chceme zapsat totéž jako logaritmickou rovnici, řekli bychom, že logaritmus o základu 'a' z 'c' je rovno 'b'. Na jakou mocninu musím umocnit 'a', abych dostal 'c'? Umocním to na 'b'. 'a' na 'b' je rovno 'c'. Dobře. Nyní vezmeme obě strany této rovnice a umocníme ji na 'd'. Nenapíšu to přímo do toho, radši to přepíši sem. Napsal jsem tu původní rovnici, 'a' na 'b' je rovno 'c', což je jenom přepsáno toto tvrzení. Teď umocníme obě strany tohohle na 'd'-tou. A měl bych být konzistentí, Použiji všude velká písmena, takže tohle by mělo být B. Vlastně používám všude malá písmena, takže tohle je malé 'c'. Umocním tohle na 'd' a umocním tohle na 'd'. Zřejmě, tyhle dvě jsou si rovny a když umocním obě strany na stejnou mocninu, rovnost bude platit stále. Co je na tom zajímavé, je, že můžeme využít pravidla o počítání s exponenty. Když máme 'a' na 'b' a to pak umocníme na 'd', podle pravidel o exponentech je to stejné, je to rovno 'a' na bd Tohle využívá, co známe o počítání s exponenty. Je to rovno 'a' na bd. Takže máme 'a' na bd. Takže máme 'a' na b*d a je to rovno 'c' na 'd'. A tahle exponenciální rovnice, pokud ji napíšeme jako logaritmickou rovnici, řekli bychom, logaritmus o základu 'a' z 'c' na 'd' je roven bd. Na jakou mocninu musím umocnit 'a', abych dostal 'c' na 'd'? Abych to dostal, musím to umocnit na bd. Ale co víme, že je 'b'? Víme, že 'b' je tady tahle věc. Takže když nahradíme tohle za 'b' a můžeme napsat tohle jako db, dostaneme logaritmus o základu 'a' z 'c' na 'd' je rovno bd, což je totéž jako db a tohle je tedy rovno db a 'b' je logaritmus o základu 'a' z 'c'. Tady to máte, právě jsme odvodili tuhle vlasnost logaritmus o základu 'a' z 'c' na 'd', je totéž jako 'd' krát logaritmus o základu 'a' z 'c', což jsme aplikovali tady.
video