Algebra: Kvadratické rovnice
Přihlásit se
Algebra: Kvadratické rovnice (14/20) · 5:44

Řešení kvadratických rovnic doplněním na čtverec Example 3: Completing the square

Navazuje na Algebra: Polynomy.
Máme za úkol vyřešit doplněním na čtverec rovnici: 4(x na druhou) plus 40x minus 300 se rovná 0. Jenom si to rychle přepíšu. 4(x na druhou) plus 40x minus 300 se rovná 0. Hlavně se mi tady nelíbí ta 4 před x na druhou a byl bych radši, kdyby tam byla 1, takže vydělíme obě strany rovnice 4. Celou pravou i levou stranu tedy vydělíme 4. A to nám to zjednoduší na x na druhou plus 10x… Můžu to udělat, jelikož dělím pravou i levou stranu, takže to bude pořád rovnost. 40 děleno 4 je 10, takže nám zbude 10x. A nakonec -300 děleno 4 se rovná -75. Ještě to ověřím, 30 děleno 4 je 7, zbytek 2, 20 děleno 4 je 5, zbytek 0. Je to tedy skutečně 75, takže minus 75 se rovná 0. A když se na to teď podíváte, tak se to můžete pokusit rozložit, ale je jasné, že to není kompletní čtverec. Protože když 10 vydělíte 2, tak dostanete 5 a 5 na druhou není 75. Tak to není perfektní čtverec. A my chceme členy na levé straně upravit na čtverec. Nejdříve si k oběma stranám rovnice přičteme 75. Někdo by na levé straně 75 nechal, ale já to přesunu napravo, abych to lépe viděl. Takže přičtu 75 k oběma stranám, abych se toho zbavil na levé straně. Následně dostaneme x na druhou plus 10x, 75 a -75 se vyruší a nechám tady prostor pro člen při doplnění na čtverec, se rovná 75. Jenom jsem přičetl 75 ke každé straně rovnice. Tak teď už se opravdu pustíme do doplnění na čtverec. Chci k obou stranám něco přičíst, nemůžu jenom k jedné straně, chci přičíst něco, aby to na pravé straně bylo doplněné na čtverec. A uděláme to tak… Dělali jsme to podrobně v minulém videu. Poslední člen na levé straně… Členy na levé straně budou doplněny na čtverec, pokud konstanta bude polovina koeficientu u ‚x‘ umocněná na druhou. Koeficient je 10. 10 děleno 2 je 5. 5 umocníme a dostaneme 25, přičtu 25 a musím to přičíst i k pravé straně. A teď vidíme, že to je doplněné na čtverec. Po sečtení jakých dvou čísel dostanu 10 a když je vynásobím, tak dostanu 25? To jsou 5 a 5. Takže když to vytkneme, tak vidíme, že na levé straně se to zjednoduší na (x plus 5) na druhou. (x plus 5) krát (x plus 5) Pokud vám to připadalo zmatené, tak se podívejte na video o vytýkání, nebo na minulé video, které podrobněji vysvětluje doplnění na čtverec. Pokud toto umocníte, tak dostanete přesně tamto. Nyní tedy dostáváme rovnici: (x plus 5) na druhou je rovno 100. A teď víme, že pokud ‚něco‘ umocníme na druhou, tak musíme dostat 100. A to znamená, že to ‚něco‘ musí být odmocninou ze 100. A my víme, že 100 má dvě odmocniny: 10 a -10. Víme tedy, že (x plus 5) se musí rovnat ±10. (x plus 5) se rovná 10, nebo (x plus 5) se rovná -10. U obou rovnic z obou stran odečteme 5 a dostáváme tedy 2 výsledky: x je 5, znovu odečtu 5 a dostanu: x je -15. Tohle jsou tedy dva kořeny této rovnice. Můžeme udělat zkoušku, jenom pro výsledek 5, druhou zkoušku nechám na vás. 4 krát 25 plus 40 krát 5 minus 300, 100 plus 200 minus 300 se rovná 0. Tedy x rovno 5 funguje a když zkusíte x rovno 15, tak to taky bude fungovat.
video