Algebra: Funkce
Přihlásit se
Algebra: Funkce (36/42) · 7:35

Inverzní funkce (příklad 3.) Příklad výpočtu inverzní funkce.

Navazuje na Algebra: Kvadratické rovnice.
Funkce f v bodu x se rovná x mínus 1 nadruhou mínus 2. Funkce f v bodu x se rovná x mínus 1 nadruhou mínus 2. Funkce f v bodu x se rovná x mínus 1 nadruhou mínus 2. S definičním oborem x je menší nebo rovno 1. S definičním oborem x je menší nebo rovno 1. Levou část paraboly máme tady. Je omezená díky definičnímu oboru (x menší nebo rovno 1). Nechám vás přemýšlet, proč by mělo být těžké udělat inverzní funkci. Ale zkusme to. Začneme tím, že y se rovná funkční hodnotě v bodu x. Začneme tím, že y se rovná funkční hodnotě v bodu x. Nebo napíšeme, že y se rovná x mínus 1 (to celé) nadruhou mínus 2. Platí to pro x je menší nebo rovno 1. Vyjádřili jsme si y. Vyjádřili jsme si y, abychom našli inverzní funkci a vyjádřili si x. Vymezíme si y. Můžeme zjistit z grafu, že y je zde větší nebo rovno -2. že y je zde větší nebo rovno -2. Uvedeme v závorce, že y je větší nebo rovno -2. Uvedeme v závorce, že y je větší nebo rovno -2. To je obor hodnot. Když ale vyměníme x a y, bude to definiční obor. Necháme to zatím takto. Vyjádříme si x. Stačí zjistit inverzní funkci. Vyjádříme x a zkontrolujeme oba obory. Vyjádříme x a zkontrolujeme oba obory. Začneme. Přičteme 2 na obě strany rovnice. Máme y plus 2 se rovná x mínus 1 to celé nadruhou. Mínus 2 plus 2 se vyruší. Změním omezení y. Protože nyní není jasné, jestli je x definiční obor nebo obor hodnot. Víme ale, že nakonci bude y definiční obor. Víme ale, že nakonci bude y definiční obor. Takže to vyměníme. Platí tedy pro y větší nebo rovno -2 a (do závorky) x je menší než 1. Konkrétně jsme to ani pro jeden nevyřešili, takže tu zatím necháme oba. Nyní možná chcete odmocnit obě strany, abychom získali x. Nebylo by to úplně špatně. Ale opatrně. Možná jste něco takového ještě neviděli. Je to zajímavá věc. Chceme na pravé straně jen x mínus 1. Získáme to, pokud odmocníme obě strany. Chceme tady mít pouze x mínus 1. Je x mínus 1 kladné nebo záporné číslo? x musí bý menší než 1. Takže počítáme jen s tím, že x je menší nebo rovno 1. Takže počítáme jen s tím, že x je menší nebo rovno 1. Za těchto podmínek je toto záporné. Za těchto podmínek je toto záporné. Chtěli bychom zápornou odmocninu. Vyjasníme si to. Pokud vezmu -3 a umocním ji, dostanu 9. Pokud vezmu -3 a umocním ji, dostanu 9. Když odmocníme 9 ... (když odmocníme)... když odmocníme obě strany rovnice. když odmocníme obě strany rovnice. Chceme se dostat zpět k -3. Vezmeme kladnou odmocninu. Odmocníme obě strany a získáme 3 se rovná 3. Odmocníme obě strany a získáme 3 se rovná 3. Chceme jiný výsledek. Chceme zpět k -3. Chceme počítat se zápornou odmocninou. Tento výraz je záporný a chceme se k němu dostat, chceme získat zpět x mínus 1, vezmeme proto zápornou odmocninu obou stran. vezmeme proto zápornou odmocninu obou stran. Každá odmocnina má svůj kladný a záporný základ. Kladná odmocnina je běžná. Ale chceme vzít zápornou, protože tento výraz bude záporný. Ale chceme vzít zápornou, protože tento výraz bude záporný. A to chceme vyřešit. Dáme obě strany pod zápornou odmocninu. Mínus odmocnina z y plus 2 ... ... nápíšu mezikroky pro lepší představu. ... nápíšu mezikroky pro lepší představu. Rovná se mínus odmocnina z x mínus 1 to celé nadruhou. Rovná se mínus odmocnina z x mínus 1 to celé nadruhou. Pro y větší nebo rovno -2. A x menší nebo rovno 1. Proto počítáme se zápornou odmocninou. Proto tento výraz ... ... napíšu to znovu. Mínus odmocnina z y plus 2 se rovná mínus odmocnina z x mínus 1 to celé nadruhou a to je x mínus 1. Bude to jen x mínus 1. x mínus 1 nadruhou je kladný výraz. Proto se zápornou odmocninou získáme záporné číslo. Proto se zápornou odmocninou získáme záporné číslo. Z x mínus 1 nadruhou bude jen x mínus 1. Snad je to srozumitelné. Chceme se zbavit této mocniny. A dostat záporný výsledek. Kladný výsledek, 1 mínus x, nechceme. Kladný výsledek, 1 mínus x, nechceme. Snad je to jasné. Vyjádříme si x. Přičteme 1. Pro y větší nebo rovno -2. Pro y větší nebo rovno -2. Přičteme 1 na obě strany. x se rovná 1 mínus odmocnina z y plus 2 pro y větší nebo rovno -2. Napíši to obráceně, x se rovná 1 mínus odmocnina z y plus 2 pro y větší nebo rovno -2. Můžeme to vyjádřit jako funkční hodnotu inverzní funkce v bodu y, která se rovná mínus odmocnina z y plus 2 plus 1 která se rovná mínus odmocnina z y plus 2 plus 1 pro y větší nebo rovno -2. Chceme vyjádřit x. Můžeme zaměnit x s y. Můžeme zaměnit x s y. Funkční hodnota inverzní funkce v bodu x (jen to přejmenuji). Rovná se mínus odmocnina z x plus 2 plus 1. A nyní bude x větší nebo rovno -2. A nyní bude x větší nebo rovno -2. Nakreslíme to do grafu. Pokud je x -2, toto je 0. Takže při x se rovná -2, y vyjde 1. Takže při x se rovná -2, y vyjde 1. Pokud dosadíme -1, výsledek pravé strany bude 0. Pokud dosadíme -1, výsledek pravé strany bude 0. Máme tedy, že x je -1 a y se rovná 0. Máme tedy, že x je -1 a y se rovná 0. Podívejme se. Pokud dosadíme 2, 2 a 2 jsou 4, mínus odmocnina ze 4 jsou -2, a sečteme -2 plus 1, výsledek je tedy -1. Vidíme náš graf. Inverzní funkce bude vypadat nějak takto. Tento graf. Grafy jsou souměrné podle osy y = x. Grafy jsou souměrné podle osy y = x. Grafy jsou souměrné podle osy y = x. Protože jsme vlastně vyměnili y za x. Očekávám, že se s podobnými příklady ještě setkáte. Není úplně jednoduché si uvědomit, že je nutné použít zápornou odmocninu. že je nutné použít zápornou odmocninu. Náš definiční obor byl omezen, proto byla tato hodnota záporná. Náš definiční obor byl omezen, proto byla tato hodnota záporná. K vyřešení je třeba záporná odmocnina.
video