Algebra: Funkce
Přihlásit se
Algebra: Funkce (15/43) · 9:59

Definiční obor funkce Funkce s neznámou ve jmenovateli, odmocninou, absolutní hodnotou, a další.

Navazuje na Algebra: Kvadratické rovnice.
Vítejte na mé prezentaci o definičních oborech funkcí. Vítejte na mé prezentaci o definičních oborech funkcí. Co je definiční obor? Spojení "definiční obor" často zaslechnete spolu se... spojením "obor hodnot". Definiční obor je prostě jen popis hodnot, které můžu dát... do funkce a dostat platný výsledek. Podívejme se na pár příkladů. Řekněme, že f(x) se rovná, třeba x^2. ... Zeptám se vás: jaké hodnoty x můžu dát do funkce tak abych dostal zpět nějakou platnou hodnotu x^2? Odpověd je, že tam můžu dát jakékoliv číslo. V tomto případě je tedy definiční obor taková množina x, že x může být jakékoliv reálné číslo. Tohle je tedy jen nóbl způsob říct -- jo, tohle R... s dvojitou zadní čárou, to je značka pro reálná čísla... a myslím, že reálná čísla už teď stejně znáte. Takže to je každé číslo kromě čísel komplexních. A jestli nevíte, co jsou komplexní čísla,... tak to vůbec nevadí. Teď je nejspíš znát nebudete potřebovat. Reálná čísla jsou všechna čísla, která většina lidí... zná, včetně iracionálních čísel, včetně... transcendentálních čísel, včetně zlomků --... každé číslo je reálné číslo. Definiční obor je tedy x, a x musí pouze splnit tu podmínku, že... bude jedním z reálných čísel. A tohle malé "e" obráceně, to jen značí... že x je členem množiny reálných čísel. Pojďme zkusit další, trošku jinak. ... Vezměme si f(x), které se rovná 1 lomeno x^2. Je tohle stejný případ? Můžu pořád dát do x jakoukoliv hodnotu a dostat... platný výsledek? No, co je f(x) když x bude 0? ... f(0) se rovná 1 / 0. A co je 1 nad 0? Nevíme, co to je, takže to je nedefinované. ... Nikdo se nikdy neobtěžovat definovat 1 děleno 0. A nejspíš o tom přemýšleli, ale nikdo z nich... asi nemohl přijít na to,... co je dobrá definice 1 děleno 0, která je konzistentní... se zbytkem matematiky. Takže 1 děleno 0 zůstala nedefinovaná. Takže f(0) není definované. Takže nemůžeme tam umístit 0 a dostat platný výsledek pro f(0). Takže zde to zapíšeme tak, že definiční obor se rovná -- malá závorka,... která ukazuje, jaká je ta množina, kde se x používají. Tyhle složené závorky jsem nenamaloval... zrovna hezky. x náleží do náleží reálných čísel, ale... nesmí se rovnat 0. Oproti původní variantě jsem to tedy upravil jen maličko. Předtím jsme říkali, že když je f(x) rovna x^2, tak x... je jakékoliv reálné číslo. Teď říkám, že x je jakékoliv reální číslo kromě 0. Tohle značení je frajerský způsob, jak to říct, a tyhle složené závorky jen značí množinu. Pojďme zkusit pár dalších. Řekněme, že f(x) je rovna odmocnině z x - 3. Tady jsme si řekli, že ta funkce není definovaná... když bude ve jmenovateli 0. Co je ale zajímavé na téhle funkci? Můžeme odmocnit záporné číslo? No, dokud se nenaučíme počítat s imaginárními a komplexními čísly,... tak nemůžeme. Takže tady řekneme fajn, každé x je platné, kromě těch x,... ve kterých je tenhle výraz záporny. Tedy musíme říct, že x mínus 3 musí být větší než... nebo rovno 0, protože odmocnina z nuly je v pořádku,... je to prostě 0. Takže x minus 3 musí být větší nebo rovno 0, takže x musí být... větší nebo rovno třem. Tady, náš definiční obor jsou taková x z reálných čísel,... která jsou větší než 3. ... Zkusme něco komplikovanějšího. Co kdybych řekl, že f(x) je rovno odmocnině z... absolutního čísla x minus 3? Teď to bude trošku komplikovanější. Stejně jako teď, tento výraz... pod odmocninou musí být větší nebo roven 0. Takže můžeme říct, že absolutní hodnota x minus 3 je... větší nebo rovna 0. Takže máme, že absolutní hodnota x musí být větší... nebo rovna 3. Když má absolutní hodnota něčeho být... větší nebo rovna něčem, tak to znamená,... že x musí být méně nebo rovno -3, nebo x musí být... větší nebo rovno 3. To dává smysl, neboť x nemůže být -2, že jo? To proto, že -2 má absolutní hodnotu méně než tři. Takže x musí být méně než -3. Musí to být v záporných čísel ve větší vzdálenosti než... -3, nebo to musí být dál v kladných čísel... než +3. Takže, znovu, x musí být méně než -3 nebo... x musí být více než +3, a to tvoří náš definiční obor. Máme výsledek: x musí patřit do reálných čísel... -- vždycky zapomenu,... má tam být čára? no, buď čárka nebo dvojtečka. Už to zapomínám, dělal jsem... tohle dávno. No nic, mysím, že to ale chápete. Zde by mohlo být jakékoliv reálné číslo, dokud je menší nebo rovno... než -3, anebo větší nebo rovno 3. než -3, anebo větší nebo rovno 3. Teď se vás na něco zeptám. Co kdybychom místo tohohle měli celý výraz ve jmenovateli... tohle jsou všechno jiné problémy. Tak teď máme 1 děleno druhou odmocninou z absolutní... hodnoty x minus 3. Jak tohle změní situaci? Nejen že musí tento výraz ve jmenovateli,.. nejen že musí být větší nebo roven... 0, může ještě pořád vůbec být 0? No, nemůže, protože odmocnina z 0 je 0, ... a ve jmenovateli bychom pak dostli 0. Takže je to jako tenhle a tenhle... problém dohromady. Takže teď když máme 1 děleno odmocninou z absolutní... hodnoty x minus 3, tak teď už to není větší nebo rovno... 0, teď už je to jenom větší 0, jo? Je to jen větší než 0. Protože nemůžeme mít 0 ve jmenovateli. Takže je-li to větší než 0, tak pak řekneme, že to je větší než 3. A prostě jenom smažeme ty rovná se tady. Smažu to pořádně. ... Je to trošku jiná barva, ale... třeba si toho nevšimnete. Tak, tady to je. No, máme ještě čas, tak můžeme udělat ještě jeden příklad... ... Tohle smažu. Tak. Řekněme, že f(x) je rovno 2, když je x sudé, a... 1 děleno x minus 2 krát x minus 1, když je sudé. Co je definiční obor této funkce? Co je platné x pro tento výraz. Okamžitě máme dvě podmínky. Když je x sudé, tak použijeme tuhle podmínku, takže když je x rovno 4 -- ... tak je rovno 2, protože jsme použili tuhle podmínku tady. Tohle ale platí, když je x liché. Stejně jako v minulém příkladu, co jsou situace,... kdo se tenhle výraz rozbije? No, když je dělitel roven 0. A dělitel je roven 0, když x je rovno 2... nebo když je x rovno 1. Jenže tahle podmínka platí pouze tehdy, když je x liché. Takže x se rovná dvěma se téhle podmínky netýká. Takže pouze x se rovná 1 připadá v úvahu. Takže definiční obor jsou taková x z reálných čísel, pro která platí... že x se nerovná 1. Myslím, že víc toho teď už nestihnem. Užijte si určování definičních oborů! ...
video