Algebra: Matice
Přihlásit se
Algebra: Matice (12/16) · 16:45

Invertování matice 3x3 - část 1 Invertování matice 3x3

Navazuje na Algebra: Komplexní čísla.
Nyní se pustíme do něčeho, co je nejspíš mé nejméně oblíbené cvičení či výpočet v matematice. Myslím, že uvidíte proč. Budeme invertovat matici rozměru 3 krát 3. Podle mě je jediná věc ještě nepříjemnější, než invertování matic 3 x 3 a to je invertování matic 4 x 4. Velice záhy vám přijde zřejmé, že je pravděpodobně lepší na to použít počítač. Ale musíte se naučit jak to udělat. Je to také dobré cvičení pro mě. Jestli to budu dělat celý život, můj mozek alespoň nezakrní. Jak uvidíte, dá se to považovat za cvičení v nedělání chyb z nepozornosti. Začněme tedy s maticí 3 x 3 a zkusme dostat matici k ní inverzní. Řekněme tedy, že máme matici A. Asi budu potřebovat hodně místa, takže to zkusím psát malé, aniž by to bylo nepřehledné. Matice A. Řekněme, že to je 1, 0... Záměrně volím tuto matici, protože taková čísla nejsou divoká. 0, 2, 1, 1, 1, 1. První věc, kterou udělám, když chci dostat inverzi matice 3 x 3, je vytvoření takzvané matice subdeterminantů. Napišme si to. Matice subdeterminantů. Nakreslím to. Bude to tedy další matice 3 x 3. Prvek vlevo nahoře, bude v podstatě determinant. Kdybych vzal svou původní matici a vyškrtnul řádek a sloupec na této pozici. Například tyto souřadnice 1, 1 řádek 1, sloupec 1. Vyškrtnu první řádek a první sloupec. Jaká čísla mi zbudou? Mám tu 2, 1, 1, 1. Mám tu přesně toto. Je to tedy determinant 2, 1, 1, 1. Vlastně to možná sepíšu. Je to determinant 2, 1, 1, 1. Vypadá to, že mi dojde místo, jsem si tím jistý. Bude to 2, 1, 1, 1. Symbol absolutní hodnoty říká, že jde o determinant. Pamatujte, vše co jsem udělal je, že jsem řekl: Na pozici 1, 1 vyškrtnu sloupec a řádek 1, 1 a vezmu determinant toho co zbylo. Nebo-li matici subdeterminantů této matice. Pak vezmu determinant... Když jdu na tuto pozici, jsem na řádku 1, sloupci 2. V podstatě vezmu determinant. Kdybych vyškrtl řádak 1 a sloupec 2, co mi zbude? Mám 0, 1, 1, 1. Možná je to matoucí... Kéž bych měl něco, čím bych to tu zakryl. Naneštěstí se moje prsty v tomhle videu nemohou ukázat. Ale když vyškrtnete tento řádek a tento sloupec, zůstane vám tato 0, tato 1, tato 1 a tato 1. A vezmete determinant tohoto subdeterminantu. A budeme pokračovat. Asi mi tu dojde místo, ale udělám co půjde. Takže, když půjdete na tuto pozici. řádek 1, sloupec 3, co uděláte? Vyškrtnete řádek 1, sloupec 3. A pak determinant nebo spíš subdeterminant je 0, 2, 1, 1. Tedy determinant té matice 2 krát 2. A takhle pokračujete dál a dál. Dojde mi místo. Ale tohle chci vypočítat. Myslím, že rozumíte, jak to udělat. Tedy zatím nerozumíte, ale až to spočítáme, tak to bude to dávat smysl. Takže to spočítám. Kdybych napsal tyto matice 2 x 2, došlo by mi místo. Nicméně, vraťme se k pozici 1, 1. Vyškrtněme první řádek, první sloupec, chci determinant tohoto tady. Co je tedy determinantem této matice 2 x 2? To není tak obtížné. Je to 2 krát 1, mínus 1 krát 1. Co je 2 krát 1, mínus 1 krát 1? No to je 1. Pak když bereme řádek 1, sloupec 2, chci determinant z 0, 1, 1, 1. To je 0 krát 1, mínus 1 krát 1. 0 krát 1 je 0, mínus 1 krát 1 je mínus 1. A to je přesně tento determinant. Jen vám znova ukazuji jak jsme k němu došli. Je to tedy 0 krát 1, mínus 1 krát 1. Na tomto místě samozřejmě vyškrtnete tento řádek, tento sloupec a 0 krát 1 mínes 1 krát 2. To je mínus 2. Pokračujme. Dobře. Teď, když jsme na řádku 2, sloupci 1, vyškrtneme řádek 2 a vyškrtneme sloupec 1. Zůstane nám tahle 0, tato 1, tato 1 a tato 1. Je to tedy 0 krát 1, což je 0. Mínus 1 krát 1. Máme tedy mínus 1. Pak dostaneme řádek 2, sloupec 2, vyškrtneme ty dva, a dostaneme subdeterminant toho, co zbude. To je 1 krát 1, mínus 1 krát 1. To je 0. Jsme z půlky hotovi. Pak jsme tedy na řádku 2, sloupci 3. Vyškrtneme řádek 2 a sloupec 3. Co zbude je 1 krát 1, mínus 1 krát 0. To je jen 1. Poslední řádek. Jsme na řádku 3 a v sloupci 1. Vyškrtneme třetí řádek, první sloupec. Zůstane 0 krát 1 je 0. Mínus 2 krát 1. To je mínus 2. Pak jsme na řádku 3 a sloupci 2. Vyškrtneme řádek 3, sloupec 2. A máme 1 krát 1, mínus 0 krát 1. To je 1. Poslední. Řádek 3, sloupec 3. Vyškrtneme řádek 3, vyškrtneme sloupec 3. Zůstane nám jen 1 krát 2, mínus 0 krát 0. To je 2. Jestli jsem neudělal nějakou nepozornou chybu, tak je toto naše matice subdeterminantů (minorů). Teď tuto matici musíme konvertovat do takzvané matice algebraických doplňků. A tento krok je docela přímočarý. Z matice subdeterminantů do matice doplňků, si musíte zapamatovat pouze tento vzor. Tento vzor se uplatňuje na libovolnou matici 3 x 3. Plus, mínus, plus, mínus, plus, mínus, plus, mínus, plus. Takže si to můžete představit jen jako typ šachovnice plusů a mínusů, kterou takto aplikujete. Co tím myslím? Znamená to, že když začnete... Začínáte plusem vlevo nahoře. Pak už jen střídáte plus, mínus. Pokud to aplikujete, dostanete matici algebraických doplňků. Napíšu to. Vidíte, že je to početní maraton. Matice doplňků v podstatě vzniká použitím tohoto vzoru na matici subdeterminantů. Máte toto plus 1 krát 1 je 1. Ale teď tu máme mínus. Takže mínus krát mínus 1 je plus 1. Pak máte plus krát mínus 2 je mínus 2. Tady máte mínus. Mínus krát mínus 1 je kladná 1. Plus krát 0 je stále 0. Mínus krát 1 je mínus 1. Plus krát mínus 2 je mínus 2. Mínus použité na 1 je mínus 1. A plus aplikované na 2 je jen 2. Máme naší matici doplňků. A jsme víc než za půlkou invertování této matice. Tady bych rád poznamenal, že co tu děláme je trochu jako zaklínadlo. Může vám to připadat trochu jako voodoo. Mějte však na paměti, že v dalších videích ukážu odkud se to vzalo. Ačkoli bude trochu divoké dokázat to pro 3 x 3. Určitě to ale ukážu pro 2 x 2. Vlastně vám ukážu další algoritmy, které by vám umožní získat intuitivní smysl pro matice 3 x 3. Chtěl jsem vám jen ukázat, jak to udělat tímto způsobem, takže alespoň až to uvidíte ve své zkoušky z Algebry 2-- protože myslím, že se to učí v kurzu Algebra 2-- budete moci, alespoň když se vás učitel zeptá, vyřešit matici subdeterminantů nebo doplňků nebo vyřešit to pro determinant inverze, tak to zvládnete. Pak se budeme starat o získání intuice, což není styl, jakým normálně učím. Toto je ale výjimka. Nicméně zpět k úloze. Toto je matice doplňků. Nyní tuhle matici transponujeme. A získáme takzvanou adjungovanou matici k matici A. Vše co se za tím skrývá, je transpozice matice doplňků. Vím, že tu uvádím hodně zvláštní terminologie. Ale transpozice znamená, že jenom prohodíte řádky a sloupce. Takže tohle je v řádku 1 sloupci 1. Jak víte, v tomto případě je řádek se sloupcem shodný, takže to zůstává. Vlastně všechno na diagonále je stejné. Protože tohle je řádek 2, sloupec 2. Tohle je řádek 3, sloupec 3. Takže diagonála zůstane stejná. A pak prohodíte místa. Tak trochu to převrátíte přes diagonálu. Co tím myslím? Tahle 1 byla na řádku 1 v sloupci 2. Takže pak bude přesunuta na řádek 2 do sloupce 1. Tahle 1 tedy půjde sem. Můžete tedy říct, že se převrátila přes diagonálu. Podobně toto je na řádku 1 v sloupci 3. Bude to přesunuto na řádek 3 do sloupce 1. Takže to půjde sem. Vidíte, že se to překlopilo. Tato mínus 2 není tahle. Je to tato. A vlastně vidíme, že je tato matice symetrická. Když ji přetočíme, dostaneme úplně stejnou věc. Takže to je špatný příklad. Ale chci abyste rozumněli, že transpozice je když-- když něco jako toto číslo, když je na řádku 1 v sloupci 2, pak se přesune do řádku 2 a sloupce 1. Takže prohazujete řádek se sloupcem. Můžeme to tak dělat, ale v podstatě to jen prohazujeme přes diagonálu. Toto číslo bude přesunuto na tuto pozici, takže to jde sem. Je to na řádku 2, sloupci 1. Půjde to do sloupce 2 a řádku 1, který je tu. Když půjdeme sem, bude to přehozeno sem dolů, přehozeno přes diagonálu. To je mínus 1. To všechno bude přehozeno odsud až sem. Toto je mínus 2. Tohle bude přehozeno tam. To je mínus 1. Jsme téměř hotovi. Takže toto je adjungovaná matice A. Abychom dostali inverzi A-- nechte mě smazat něco z tohoto, protože jinak nám dojde místo. Jak můžete vidět, budu opravdu překvapený, jestli jsem už neudělal nějakou nepozornou chybu. Tohle všechno smažu. Mám chuť k jídlu jen kvůli řešení téhle úlohy. Je to na mě opravdu náročné. Takže inverze matice A je rovna 1 lomeno determinat A krát adjungovaná matice A. Vyřešili jsme tuto část. Vyřešme teď determinant. Determinant A-- a nechal jsem si tu matici doplňků-- determinant A je... Můžete vlastně jít přes libovolný řádek-- ale jen pro jednoduchost, zapamatujte si tuto cestu. Jdete přes vrchní řádek, a násobíte každý výraz krát jemu odpovídající doplněk, a sečtete je. V tomto případě, to bude 1 krát tomu odpovídající doplněk, což je 1. Plus 0 krát tomu odpovídající doplněk, což je 1. Plus 1 krát jí odpovídající doplněk plus mínus 2. To je 1 plus 0 mínus 2. To se rovná mínus 1. Naštěstí to byl relativně přímočarý determinant. Jestli jste neměli tuto matici doplňků, jiná cesta jak o tom přemýšlet-- tohle je dobré, protože vám to dá intuitivní představu toho, jak jsme se vůbec dostali k matici doplňků. můžete si to představit jako stejnou věc jako 1 krát determinant doplňků. Když tedy vyškrtnete řádek a sloupec, je to tento determinant. Je to tedy 2, 1, 1, 1. A pamatujete, že tam byl ten vzor. Máte plus a pak tam dáte mínus. Tedy mínus 0 krát determinant doplńků. Vyškrtnete ten řádek a sloupec. Tedy 0, 1, 1, 1. Pak opět přehodíme. Jdeme zpět k plus. Plus 1 krát matice subdeterminantu. Vyškrtnete tedy tento řádek a tento sloupec. Dostanete 0, 2, 1, 1. A můžete to vypočítat. Toto je doplněk. Tohle se znaménkem subdeterminantu, to je jen subdeterminant. A pak když aplikujete znaménko mínus, stane se to algebraickým doplňkem. Toto je pak subdeterminant. Protože je tam znaménko plus, je to také doplněk. Nicméně, chtěl jsem to jen vysvětlit a doufám, že vás to nezmátlo. Teď jsme připraveni vyřešit inverzi matice A. Víme, že determinant je roven mínus 1. Víme, že adjungovaná matice A je toto číslo zde. Takže můžeme vyřešit inverzi. Udělejme to. Vymažu teď tohle všechno. Protože po tom, co vyřeším, chci vám ukázat, že je to opravdu inverzní matice. Jestli budu mít dost času. Protože jsem si teď uvědomil, že už počítám docela dlouho. To může být dobré cvičení pro vás. Dobrá. Takže inverzní matice k matici A je rovna 1 lomeno determinant. Zjistili jsme, že determinant je mínus 1 krát adjungovaná matice k matici A. 1, 1, mínus 2. 1, 0, mínus 1. Mínus 2, mínus 1, 2. To je mínus 1, správně? Takže pouze aplikujeme mínus 1 krát vše. Dostaneme - jestli jsem neudělal žádnou chybu - mínus 1, mínus 1, plus 2, mínus 1, 0, 1, 2, 1, mínus 2. myslím, že udělal-- Udělal jsem mínus krát všechno. To vypadá dobře. Tohle je inverzní matice. Zabralo to jen 17 minut. Tady vás nechám, protože mi asi zabere dalších 5 až 10 minut to dokázat, ale může to být dobré cvičení pro vás. Vynásobte tuto matici s touto maticí, a ujistěte se, že získáte jednotkovou matici. Uvidíme se v dalším videu.
video