Pravděpodobnost náhodných jevů
Přihlásit se
Pravděpodobnost náhodných jevů (11/13) · 9:20

Příklad: kdy padne alespoň jednou panna? Počítání pravděpodobnosti, že při několikanásobném hodu mincí padne alespoň jednou panna.

Teď si zkusíme nějaké zajímavější problémy a dobrá věc na pravděpodobnosti je to, že vždycky můžete najít zajímavější problém. Tak teď třeba vezmu normální minci a třikrát si s ní hodím a chci vypočítat pravděpodobnost, že alespoň jednou padne panna. Alespoň jednou z těch tří pokusů. Nejjednoduší cestou je zamyslet se nad tím, kolik různých možných výsledků mám. V minulém videu jsme viděli, že když hodíme třikrát mincí, máme osm různých možných výsledků. Pro první hod jsou dva možné výsledky, pro druhý hod jsou taky dva a pro třetí hod jsou taky dva možné výsledky. Tedy 2 krát 2 krát 2, to dělá dohromady osm stejně pravděpodobných možných výsledku, když házím třikrát mincí. V kolika z těchto možných výsledků je alespoň jednou panna? My jsme už předem vypsali všechny možné výsledky, takže nám stačí jenom spočítat, v kolika z nich je alespoň jednou panna. Máme 1,2,3,4,5,6,7. Takže v sedmi z nich je alespoň jednou panna a pouze v jednom z nich není, takže v sedmi z osmi je panna alespoň jednou. Teď si možná říkáte: "No a?" Vy byste rozhodně také zvládli vypsat všechny možné výsledky, ale to by bylo dost těžké, pokud byste chtěli "Alespoň jednu pannu z dvaceti hodů." Teď to šlo, protože jsme měli jenom tři hody. Tak si to ujasníme: tohle bylo pro tři hody. Bylo by to mnohem těžší a časově náročnější, kdybych měl dvacet hodů. Nešlo by to nějak zkrátit? Je tu nějaká jiná možnost, jak to počítat? A nemůžete to udělat tou nejjednoduší cestou, nemůžete prostě říct: "No, pravděpodobnost padnutí panny krát pravděpodobnost padnutí panny", protože když vám padne panna poprvé, nemusí vám pak padnout už ani jednou. Nebo vám může padnout panna ještě jednou, ale taky nemusí, takže se to může trochu komplikovat. Ale dá se na to jít i jednodušeji, můžeme využít tuto metodu. Vídáme to často u mnoha zkoušek, kde z toho dělají velkou vědu, ale když se nad tím trochu lépe zamyslíte, hned to je o něco jednoduší. Jeden ze způsobů je tento: pravděpodobnost, že panna padne alespoň jednou ze tří hodů je stejná, jako že nepadnou samí orli. Když padnou samí orli, nemáme tam alespoň jednu pannu, takže tyhle dvě možnosti jsou ekvivalentní: pravděpodobnost, že padne alespoň jednou panna je to samé, jako že nepadnou samí orli, když házíme třikrát. Takže jaká je pravděpodobnost, že nám nepadnou samí orli? Bude to 1 mínus pravděpodobnost, že padnou samí orli. Tři hody...tři krát pravděpodbnost, že padnou samí orli. Protože ve všech ostatních případech bychom tam měli alespoň jednu pannu, což by činilo všechny ostatní možnosti, takže tohle je jediná možnost. Když byste to všechno sečetli, dostanete jedničku. Když to takhle napíšu...v nové barvě... abyste viděli, jak jsem na to přišel. Pravděpodobnost, že padnou samí orli a pravděpodobnost, že nepadnou... Tohle je prostě až moc vysilující. Ale je to jedna z možných situací. Šance na to, že nepadnou žádní orli nebo že padnou samí orli se navzájem vylučují, Takže je můžeme sečíst, takže pravděpodobnost samých orlů nebo aby to bylo jasné - pravděpodobnost ne všech orlů a samých orlů je rovna jedné. Vzájemně se vylučují, Buď nebudete mít žádné orly, což znamená alespoň jednu pannu, nebo budete mít samé orly. Nemůžete mít obojí najednou. A protože se navzájem vylučují, tak pravděpodobnost, že se stane tohle nebo tohle můžete sečíst a vyjdou vám všechny možné události. To je důležité. Když je zkombinujete, dostanete pravděpodobnost, že se stane alespoň jedna z těch možností, což je 1, tedy 100% pravděpodobnost. Další možnost, jak nad tím přemýšlet, je pravděpodobnost, že nepadnou samí orli Ta bude 1 minus pravděpodobnost samých orlů. To je to, co jsme právě udělali. Pravděpodobnost samých orlů je docela jasná. Bude to jedna polovina, protože máme poloviční šanci, že padne orel při prvním hodu... Raději to napíšu, aby to bylo jasné... Bude to 1 mínus pravděpodobnost hodu samých orlů. Máme poloviční šanci, že padne orel v prvním hodu, pak poloviční šanci, že padne orel v druhém hodu a pak poloviční šanci, že padne orel ve třetím hodu. Tedy 1/2 krát 1/2 krát 1/2 bude jedna osmina. Pak 1 minus 1/8, tedy 8/8 minus 1/8 bude rovno 7/8. To můžeme použít na problém, který by byl náročný, kdybychom měli vypisovat všechny možnosti, jako jsme dělali u prvního problému. Řekněme, že máme 10 hodů Pravděpodobnost alespoň jedné panny v deseti hodech. Použijeme stejný postup, bude to úplně to stejné. Výsledek je rovný pravděpodonosti, že v deseti hodech nepadnou samí orli. A pravděpodonost, že nepadnou samí orli... A pravděpodonost, že nepadnou samí orli... Ne samí ori v deseti hodech... Bude to 1 minus pravděpodobnost, že desetkrát padne orel, takže 1 minus desetkrát orel. A bude to rovné ...tahle část bude rovna... jenom to napíšu, bude to tedy 1... 1 minus...a tahle část bude jeden orel, další orel, takže 1/2 krát 1/2 krát... ...a tohle udělám desetkrát. 5,6,7,8,9 a 10. Ve skutečnosti musíme jenom... Náš čitatel je jedna, takže tohle bude 1... Udělám to hezky zelenou barvou... Bude to 1 minus, takže čitatel je jednička, desetkrát jednička je zase deset, a pak jmenovatel - máme 2 krát 2, to jsou 4, 4 krát 2 je 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Takže děleno 1024... To je to stejné jako 1024/1024 minus 1/1024, což je rovno 1023, tudíž 1023/1024. Máme tady společného dělitele, tak použiji stejnou modrou... Takže pokud hodím desetkrát za sebou mincí, pravděpodobnost, že padne alespoň jednou panna v těchto deseti hodech, je celkem velká, je to 1023/1024. Můžete vzít do ruky kalkulačku a spočítat si to přesně na procenta. Já si to jen tak pro radost spočítám. Takže máme 1023 děleno 1024, což je... Je tu 99,9% šance, že padne alespoň jednou hlava. Ta šance je asi 99,9%, ale já to trochu zaokrouhlím takže je to dokonce o něco více... Tohl je docela silný nástroj, docela dobrý způsob, jak to počítat, protože by vám to zabralo věčnost, kdybyste měli vypisovat všechny ty možnosti. Vlastně by tu bylo 1024 možností, které byste si museli napsat, takže těch deset hodů by vám zabralo všechen zadaný čas. Ale pokud se nad tím trochu zamyslíte a řeknete si: "Hele, pravděpodobnost hození alespoň jedné panny při deseti hodech je stejná, jako nehození žádného orla, tedy 1 minus hození samých orlů." A to je vlastně docela lehké, když se nad tím zamyslíte.
video