Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 7: Nezávislé jevy a jejich pravděpodobnost- Všechny možnosti výběru vypsané pomocí tabulky, stromu a seznamu
- Všechny možnosti výběru vypsané pomocí tabulky, stromu a seznamu
- Pravděpodobnost kombinace nezávislých jevů
- Pravděpodobnost složeného jevu
- Pravděpodobnost při hodu mincí
- Pravděpodobnost při házení na koš
- Pravděpodobnost v basketbalu
- Pravděpodobost při hodech nespravedlivou mincí
- Pravděpodobnost nezávislých jevů: tipování odpovědí v testu
- Pravděpodobnost nezávislých jevů: hod kostkou
- Pravděpodobnost nezávislých jevů
- Pravděpodobnost složeného jevu
Pravděpodobnost při hodu mincí
V tomto videu budeme zkoumat pravděpodobnost, že padne alespoň jedna panna při více hodech spravedlivou mincí. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Podíváme se na mnoho hodů mincí, kdy už
není možné použít výpis všech možných výsledků. Začněme ale se známými třemi
hody. Bude nás zajímat pravděpodobnost, že při
hodu třemi mincemi padne alespoň jedenkrát panna. Všechny možné výsledky už máme
vypsané. Stačí tedy spočítat ty příznivé. Vidíme, že všechny první nebo prvních 7
výsledků je příznivých. Tam máme alespoň jednu pannu. Poslední není. Dostáváme tak 7 příznivých výsledků z osmi
možných, což dává pravděpodobnost 7/8. Otázka je, jestli můžeme tuto úlohu
vypočítat i bez použití výpisu všech možných výsledků. Odpověď je ano a stačí k tomu jeden chytrý
trik. Uvědomíme si, že alespoň jedna panna
znamená, že nepadnou samí orli. To ale můžeme vypočítat tak, že od sta
procent, tedy naprosté jistoty, odečteme pravděpodobnost opačného jevu. Tedy jedna
minus pravděpodobnost, že padnou samí orli, v
tomto případě orel, orel, orel. A to je pravděpodobnost, kterou umíme
vypočítat i bez výpisu výsledků. Jedná se totiž o tři nezávislé hody, v
každém máme pravděpodobnost úspěchu 1/2. Je to tedy 1/2 krát
1/2 krát 1/2, což je 1/8. A po odečtení od jedničky dostáváme opět sedm
osmin. Vraťme se ještě o krok zpět a rozmysleme
si, proč tento postup funguje. A určitě platí, že pravděpodobnost, že
nepadnou samí orli, a pravděpodobnost, že padnou samí orli, je
dohromady 100 procent neboli 1. Je to jasné, protože tyto dva jevy, tento
můžeme vyznačit zeleně, a samé orly můžeme označit například
růžovou, tak tyto dva jevy dohromady pokrývají
všechny možné výsledky, nemají nic společného, a tedy jejich pravděpodobnost
dohromady musí dát sto procent. Takovým jevům říkáme opačné jevy. Často narazíme na situaci, kdy výpočet
nějaké pravděpodobnosti není moc snadný, jako třeba zde alespoň jedna panna. Ale výpočet pravděpodobnosti opačného jevu
je naopak snadný, jako zde jedna polovina krát jedna polovina krát jedna polovina. V takovém případě je dobré si toho
všimnout a využít opačného jevu. Když už máme tuto rovnost, stačí jenom
jednu pravděpodobnost převést na druhou stranu rovnosti a dostáváme vztah, který
jsme použili k výpočtu. Pojďme se podívat na složitější příklad. Tentokrát budeme totiž mincí házet
desetkrát. Provedeme deset hodů a zajímá nás opět,
jaká je pravděpodobnost, že nám při deseti hodech padne alespoň jedna panna. A budeme postupovat úplně stejně. Všimneme si totiž, že tato podmínka říká, že
nepadnou samí orli a nyní stačí tuto podmínku znegovat a pravděpodobnost odečíst od
jedné. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna minus pravděpodobnost, že padnou samí orli při
deseti hodech, tedy 10 orlů po sobě. Jedná se o nezávislé hody a tedy deset
orlů po sobě padne s pravděpodobností jedna polovina na desátou. Pokud umocňujeme zlomek, pak umocňujeme zvlášť
čitatel a zvlášť jmenovatel. Jedna na desátou je jedna a vyjmenovat tedy zbývá
dvě na desátou což je tisíc dvacet čtyři. Dostáváme tak jedna minus jedna tisíc
dvaceti čtvrtina, což je tisíc dvacet tři lomeno tisíc dvaceti čtyřmi. Tedy pravděpodobnost hraničící s jistotou.