Pravděpodobnost náhodných jevů
Pravděpodobnost náhodných jevů (5/13) · 9:56

Příklad: pravděpodobnost vytažení jiné než modré kuličky Ze sáčku s 9 červenými,2 modrými a 3 zelenými kuličkami, vytáhnu kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že nebude modrá?

Pojďme si udělat několik cvičení z našeho prvního modulu o pravděpodobnosti. Máme sáček s 9 červenými kuličkami, 2 modrými a se 3 zelenými kuličkami. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kulička nebude modrá? Nakreslíme si tady ten sáček. Tak to je můj sáček. Předpokládáme, že je průhledný. Tohle vypadá jako váza. Máme 9 červených kuliček. Takže nakreslíme 9 červených kuliček. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 červených kuliček. Vypadá to jako oranžová, ale účel to splní. 2 modré kuličky. Takže máme 1 modrou kuličku. 2 modré kuličky. A pak máme 3 zelené kuličky. 3 zelené kuličky. Nakreslím je... 1, 2, 3. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kulička nebude modrá? Všechny je smícháme a máme stejnou pravděpodobnost pro výběr každé kuličky. Přemýšlejte o tom takhle: Jaká část všech možných výběrů splňuje naše podmínky. Nejdříve pojďme promyslet všechny možné výběry. Kolik různých kuliček můžeme vytáhnout? Prostě tolik, kolik je v sáčku celkem kuliček. Je tu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 kuliček. Takže to je počet možností. Pak už musíme jen přemýšlet o tom, jaká část těchto možností splňuje naše požadavky? Jiný způsob, jak jste mohli získat 14, bylo sečíst 9 + 2 + 3. Takže kolik možností splňuje naše požadavky? A pamatujte si, že náš požadavek je vybrat jinou než modrou kuličku ze sáčku. Jinak si můžete říct, že vybíráte červenou nebo zelenou kuličku. Takže kolik jiných než modrých kuliček tu je? No, je tu několik možností, jak o tom přemýšlet. Můžete říct, že tu je 14 kuliček: 2 jsou modré, takže tu bude 14 minus 2, což je 12 kuliček, které nejsou modré. Nebo je můžete prostě spočítat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Takže máme 12 kuliček, které nejsou modré. Takže to máme počet kuliček, které nejsou modré, takže to je počet možností, které splňují naše požadavky. A pak, jestliže chceme - tenhle zlomek bychom mohli nejdřív zkrátit. Když je 12 i 14 dělitelné 2 - vydělme čitatel i jmenovatel dvěma a dostaneme 6 lomeno 7. Takže šance na výběr kuličky, která není modrá, je šest sedmin. Pojďme udělat jiný příklad. Jestliže náhodně vybereme číslo z následujícího seznamu, jaká je pravděpodobnost, že toto číslo bude dělitelné 5? Takže opět chceme zjistit, jaký podíl všech možností splňuje naši podmínku. A naše podmínka je dělitelnost 5. Takže kolik možností tu celkem máme? Pojďme se nad tím zamyslet. Všechny možnosti... Kolik jich máme? To je jen celkový počet čísel, ze kterých vybíráme. Takže to je 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Takže tu je 12 možností. Pravděpodobnost výběru jakéhokoli z těchto čísel je stejná. A teď, která z těchto čísel jsou dělitelná 5? Udělejme je jinou barvou. Takže vyberu násobky 5. 32 není násobkem 5, 49 není násobkem 5, 55 je násobkem 5. Opravdu hledáme jen taková čísla, která mají na místě jednotek 5 nebo 0. 55 je násobkem 5, 30 je násobkem 5, je to 6 krát 5, předchozích 55 bylo 11 krát 5, 56 ne, 28 ne. Tohle je očividně 5 krát 10, tohle je 8 krát 5, tohle je znovu to samé číslo, také 8 krát 5, takže všechna tato čísla jsou násobky 5, 45, to je 9 krát 5, 3 není násobkem 5, 25 je jasně 5 krát 5. Takže jsem zakroužkoval všechny násobky 5. Takže ze všech možností splňuje naši podmínku, aby šlo o násobek pěti, celkem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 možností. Takže 7 jich splňuje naši podmínku. Takže v tomto příkladu se pravděpodobnost výběru čísla, které je násobkem 5, rovná sedm dvanáctin. Pojďme udělat další. Obvod kruhu je 36 Pí. Nakreslíme si to. Kruh vypadá... Umím nakreslit hezčí. Tak řekněme, že kruh vypadá takhle. A jeho obvod je, musíme dát pozor, dávají nám zajímavé... takže obvod... obvod je 36 Pí, a pak víme, že v tomhle kruhu je menší kruh s obsahem 16 Pí. Uvnitř většího kruhu máme menší kruh, který má... tenhle kruh má obsah 16 Pí. Bod se vybírá náhodně zevnitř většího kruhu, takže vybereme libovolný bod ve větším kruhu. Jaká je pravděpodobnost, že bod leží zároveň v menším kruhu? To je docela zajímavé, protože vlastně máme nekonečný počet bodů v obou kruzích, protože ... to není jako jednotlivé míčky nebo kuličky, které jsme měli v prvním příkladu, nebo jednotlivá čísla. Vlastně si tu můžete vybrat z nekonečného počtu bodů, takže když mluvíme o pravděpodobnosti, se kterou bod leží zároveň i v menším kruhu, vlastně myslíme procento bodů ve větším kruhu, které jsou zároveň v menším. Jiný způsob, jak o tom přemýšlet je, že pravděpodobnost, že když vybereme bod z většího kruhu, bude zároveň i v menším kruhu, bude prostě podíl velikosti menšího kruhu k většímu. Možná to zní zmateně, ale skutečně musíme zjistit jejich plochy, a opravdu to bude ten poměr. Takže: Svádí nás to použít těch 36 Pí, ale musíme si uvědomit, že to byl obvod, a my potřebujeme zjistit obsah obou kruhů. A pro zjištění obsahu potřebujeme znát poloměr, protože obsah je Pí krát r na druhou, takže zjistíme poloměr z obvodu. Obvod se rovná dvakrát Pí krát poloměr kruhu, neboli 36 Pí, což víme, že je obvod, se rovná dva krát Pí krát poloměr. Vydělíme obě strany 2 Pí, a na levé straně 36 děleno 2 je 18, Pí se vykrátí... pro větší kruh dostaneme poloměr rovný 18. Větší kruh má poloměr 18. A když chceme znát jeho obsah, tak obsah bude Pí krát r na druhou. Což se rovná Pí krát 18 na druhou. Zjistíme druhou mocninu 18. 18 krát 18: 8 krát 8 je 64, 8 krát 1 je 8, plus 6 je 14, a tady napíšeme nulu, protože sem desítky nepíšeme. 1 krát 8 je 8. Jednou 1 je 1, ve skutečnosti je to 10 krát 10, takže vyjde 100. 4 plus 0 je 4, 4 plus 8 je 12, 1 plus 1 plus 1 jsou 3, Takže je to 324. Tahle obsah se rovná Pí krát 324, nebo můžeme říct 324 Pí. Obsah celého většího kruhu, který šrafuji žlutě, včetně toho, co je jakoby pod tím oranžovým kruhem, jestli to chcete brát takhle, tenhle obsah se rovná 324 Pí. Pravděpodobnost, že bod, který vybereme ve větším kruhu, je zároveň i v menším, je skutečně podíl obsahu menšího kruhu na obsahu většího kruhu. Takže pravděpodobnost... napíšu to takhle... pravděpodobnost, že ten bod leží zároveň v menším kruhu... tak tohle všechno bych napsal sem... pravděpodobnost bude rovna tomu, kolik procent většího kruhu zabírá menší kruh. a to bude... podíl obsahu menšího kruhu na obsahu většího kruhu. To bude 16 Pí lomeno 324 Pí. Pí se vykrátí a obě čísla jsou dělitelná 4, když vydělíme čitatel čtyřmi, dostaneme 4, když vydělíme čtyřmi jmenovatel, kolik vyjde? 4 je v 320 osmdesátkrát, a ve 4 jednou, takže vyjde 81. Takže pravděpodobnost... nenakreslil jsem to ve správném měřítku, tahle plocha by ve skutečnosti byla daleko menší, kdybychom to kreslili ve správném měřítku. Pravděpodobnost, že pokud náhodně vyberete bod z většího kruhu, bude ležet i v tom menším, je poměr obsahu menšího a většího kruhu, a to jsou 4 osmdesátijedniny. To bude nejlepší vyjádření.
video