Jednoduchý výpočet pravděpodobnosti: jiná než modrá kulička a další příklady

V tomto videu se podíváme na 3 úlohy, zaměřené na výpočet pravděpodobnosti. Doporučuji si každou úlohu na začátku zastavit, zkusit si ji vyřešit samostatně a potom si případně zkontrolovat výsledek podle videa. V první úloze z nádoby, nebo z krabičky náhodně vytahujeme 1 barevnou kuličku. Do nádoby nevidíme, aby byl výběr skutečně náhodný. Nejprve celou situaci znázorníme, abychom si ujasnili počet všech možných výsledků. V krabičce je 9 červených kuliček. Nakreslíme je nějak náhodně rozmístěné. Dále jsou v krabičce 2 modré kuličky a také 3 zelené. To znamená, že celkem je v krabičce 9 + 2 + 3, to je 14 možných výsledků, jak může experiment dopadnout. Nás zajímá pravděpodobnost, že vytažená kulička nebude modrá. To znamená, že může být červená nebo zelená. Červených je 9, zelené jsou 3, to je celkem 9 + 3 příznivých výsledků ze 14 možných, což je 12 lomeno 14. To můžeme ještě zkrátit jako 6 sedmin. Což je výsledná pravděpodobnost. Pojďme na další úlohu. Opět doporučuji si video zastavit a zkusit si ji vyřešit samostatně. Tentokrát vybíráme 1 číslo ze seznamu. A cílem je zjistit, jaká je pravděpodobnost, že toto číslo bude dělitelné 5. Nejprve zjistíme počet čísel, tedy počet všech možných výsledků experimentu. Na seznamu je 12 čísel, tedy 12 možných výsledků. Nyní potřebujeme zjistit počet příznivých výsledků, tedy čísel dělitelných 5. Číslo je dělitelné 5, pokud končí číslicí 5 nebo 0. To znamená, že čísla 32 ani 49 nejsou, 55 a 30 jsou dělitelné 5, dále 50, 40 a 40 i 45 jsou dělitelné 5, 3 ne a číslo 25 ano. Tím dostáváme celkem 7 příznivých výsledků. A nyní už stačí obě čísla vydělit a dostat tak výslednou pravděpodobnost 7 ku 12. A je před námi poslední úloha, která zapojí i trochu geometrie. V této úloze máme 2 kruhy. 1 větší a uvnitř něj menší. Z velkého kruhu náhodně vybereme bod a naším úkolem je určit pravděpodobnost, že tento náhodný bod bude ležet uvnitř menšího vnitřního kruhu. K tomu potřebujeme znát obsahy obou kruhů, protože přesně část obsahu, kterou zabírá menší kruh ve větším, odpovídá pravděpodobnosti, že vybraný bod bude ležet uvnitř něj. Zde je dobřé se zastavit a rozmyslet si, že tato definice takzvané geometrické pravděpodobnosti dává smysl. Je to totiž poprvé, co máme nekonečně mnoho různých výsledků pokusů. Uvnitř velkého kruhu je nekonečně mnoho bodů a my můžem vybrat kterýkoli z nich, kterýkoli se stejnou pravděpodobností. Za normálních okolností bychom pravděpodobnost vypočítali tak, že vezmeme počet bodů uvnitř malého kruhu a vydělíme to celkovým počtem bodů. To zde ale není možné, dostali bychom nekonečno lomeno nekonečno, což není matematicky korektní výraz. A tak musíme použít nějakou jinou hodnotu. Proto použijeme obsah obou kruhů, který dobře zachytí jejich relativní velikost. Čím menší obsah má kruh vevnitř vzhledem k velkému kruhu, tím menší je šance, že vybereme bod uvnitř něj. Pravděpodobnost je tedy podíl těchto obsahů. Obsah menšího vnitřního kruhu nepotřebujeme počítat, ten máme zadaný přímo ve znění úlohy. Obsah menšího vnitřního kruhu, tato část, je podle zadání 16pí cm čtverečních. U většího kruhu máme zadaný pouze obvod, o kterém víme, že má hodnotu 36pí cm. Potřebujeme tedy vypočítat obsah většího kruhu a k tomu nejprve potřebujeme zjistit jeho poloměr. To ale z obvodu snadno zjistíme, protože obvod je roven 2pí krát r, neboli poloměr. A víme, že tato hodnota se rovná 36pí. Dostali jsme tak rovnici, ze které r snadno vypočítáme. Stačí ho na levé straně osamostatnit. Vydělíme rovnici 2pí, tím se zbavíme pí na obou stranách, zbavíme se 2 na levé straně, kde už máme samotné r, a vpravo dostáváme 36 děleno 2, neboli 18. r je 18 cm. Nyní už můžeme vypočítat obsah většího kruhu, který je podle vzorce pí krát r na druhou, což znamená pí krát 18 na druhou. 18 na druhou si možná pamatujete, pokud ne, můžeme si 18 na druhou zapsat jako 2 krát 9 na druhou, neboli 2 na druhou krát 9 na druhou. Což se násobí mnohem lépe, protože to je 4 krát 81… 4 krát 80 je 320, 4 krát 1 je 4. 18 na druhou je tedy 324 a obsah většího kruhu je tak 324pí cm čtverečních. Máme obsahy obou kruhů, nyní už je jenom vydělíme a dostaneme tak hledanou pravděpodobnost. 16pí lomeno 324pí. Zde můžeme ještě krátit. Samozřejmě můžeme zkrátit pí. A dále můžeme krátit čtyřmi. 16 děleno 4 je 4 a 324 děleno 4, no to přece víme, to je 81, to znamená, že výsledná pravděpodobnost je 4 lomeno 81, neboli přibližně 5 %. Vidíme tedy, že obrázek není nakreslen úplně v měřítku, to ale vůbec nevadí. K výpočtu nám dobře posloužil.