Pravděpodobnost s pomocí Vennových diagramů

Podíváme se na několik příkladů s běžnými hracími kartami a uvidíme jak se mohou hodit množínové operace. Budeme pracovat s běžným balíčkem třiceti dvou karet často jim říkáme Mariášové. Tyto karty mají čtyři různé barvy a to sice srdce, Kule. žaludy a listy. Od každé barvy máme osm různých hodnot karet. Jednak číselné hodnoty od sedmi do desíti a potom spodka, svrška, krále a eso. Pojďme se podívat na pár základních výpočtů. Balíček vždy dobře promícháme a náhodně vybereme kartu. Pak ji vrátíme zpátky. Zaprvé, jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná karta bude král. V balíčku jsou čtyři králové od každé barvy jeden. Srdcový, kulový, žaludový a listový. To jsou tedy čtyři příznivé výsledky z třiceti dvou možných. Balíček má 32 karet. To můžeme ještě zkrátit jako jedna ku osmi. 8 je také počet různých hodnot v balíčku. Je důležité, že každá hodnota je v balíčku čtyřikrát, od každé barvy. Tedy pokud vybíráme jednu konkrétní hodnotu krále z osmi stejně zastoupených hodnot, pak je jasné, že pravděpodobnost bude jedna osmina. Zadruhé, jaká je pravděpodobnost, že vybereme srdcovou kartu. V balíčku máme osm srdcových karet, od každé hodnoty jednu, to je osm příznivých výsledků z třiceti dvou možných, což lze zkrátit na jednu čtvrtinu a opět čtyři jsou barvy v balíčku, máme čtyři stejně zastoupené barvy, tedy pravděpodobnost, že vybereme jednu z nich, konkrétně srdce, je 1 ku 4. Zatřetí, jaká je pravděpodobnost, že vybereme srdcovou kartu a zároveň krále. Pokud se v kartách trochu vyznáte, je jasné že taková karta je jedna jediná v balíčku. Je to srdcový král. To znamená, máme jeden příznivý výsledek z třiceti dvou možných. A konečně, jaká je pravděpodobnost, že vybereme srdcovou kartu nebo krále. Opět bychom mohli spočítat všechny karty, které splňují tuto podmínku a jejich počet vydělit třiceti dvěma. Je to ale dobrá příležitost ukázat si práci s Vennovým diagramem a s množinovými operacemi. Nejprve si vyznačíme množinu všech karet tzv. univerzální množinu. Většinou se kreslí jako obdélník, který znázorňuje 32 karet v množině všech karet, pak najdeme dvě podmnožiny, jednak množinu všech srdcových karet. Těch je 8. A jednak množinu všech králů. Ti jsou čtyři, nyní už také vidíme průnik těchto dvou množin, tedy množinu všech srdcových králů. Takový král je v balíčku samozřejmě jenom jeden. Takže tato fialová množina má jenom jeden prvek, jednoho srdcového krále. Nám jde o výpočet pravděpodobnosti, že vytáhneme srdcovou kartu nebo krále. K tomu potřebujeme znát počet příznivých výsledků a to znamená velikost tzv. sjednocení těchto dvou množin, neboli kolik prvků obsahují, když je spojíme, sjednotíme. První co by nás mohlo napadnout je sečíst počet jejich prvků osm plus 4. V takovém případě jsme ale srdcového krále započítali jednou mezi srdcovými kartami a jednou mezi krále. To znamená, my jsme tento průnik započítali dvakrát, musíme ho tedy jednou odečíst, aby celkově byl v součtu jenom jednou. Dostáváme tak osm plus 4 minus jedna, což je 11. Obecně platí, že pokud počítáme velikost sjednocení tak sečteme velikostí jednotlivých množin a odečteme Velikost průniku protože ten jsme počítali dvakrát. Vraťme se nyní k výpočtu pravděpodobnosti podle výsledku, který jsme si rozmysleli, je tak pravděpodobnost, že vytáhneme srdcovou kartu nebo krále rovna pravděpodobnosti, že vytáhneme srdcovou kartu. Plus pravděpodobnosti, že vytáhneme krále. Minus pravděpodobností, že vytáhnete srdcového krále, protože tento jev jsme započítali dvakrát. Jmenovatel je ve všech třech případech 32 a v čitateli tak dostáváme osm srdcových karet + 4 králové minus 1 srdcový král lomeno třiceti dvěma, což je 11 ku třiceti dvěma.