Příklad: narozeninový paradox

Máme tedy příklad, který má sice krátké zadání, ale uvidíme, že je poměrně zapeklitý. Určitě doporučuji zkusit si ho nejprve vyřešit samostatně. Než se pustíme do exaktního řešení, zkusme si udělat nějaký hrubý odhad, kolik by to asi tak mohlo být. Rok má 365 dnů. Ve třídě máme 30 žáků, to znamená, pravděpodobnost, že se dva žáci trefí do stejného dne, kolik by to tak mohlo být? Tak jeden z pohledů je, že zkusíme jednoduše vydělit 30 lomeno 360 a dostaneme zhruba 1 ku 12, tedy o něco méně než 10 procent. Uvidíme, že tohle není úplně dobrý odhad. Nejprve zkusíme vyřešit jednodušší problém. A sice třídu pouze se čtyřmi žáky. Máme tedy čtyři žáky. Tím se nám bude lépe počítat i představovat celý proces. Říkejme jim například A, B, C, D, Adam, Bára, Cyril, Daniela. Zajímají nás situace, kdy alespoň dva z nich mají narozeniny ve stejný den. To může být například Adam a Bára nebo to může být, Adam, Bára a Daniela mohou mít narozeniny ve stejný den, anebo mohou mít ve stejný den narozeniny Anna a Bára a také Cyril a Daniela. To je poměrně hodně různých možností, zvlášť u třicetičlenné třídy by to bylo opravdu mnoho různých způsobů, jak to může nastat. A bylo by poměrně těžké je kombinatoricky všechny postihnout. My tady uděláme klasický trik při výpočtu pravděpodobnosti a uvědomíme si, že pravděpodobnost, že alespoň dva mají narozeniny ve stejný den a pravděpodobnost, že nikdo, že žádní dva nemají narozeniny ve stejný den, musí dát v součtu jedničku, protože to jsou opačné jevy. Určitě nastane jeden nebo druhý, buď někteří dva mají narozeniny ve stejný den nebo ne. A zároveň nemohou nastat současně, proto tyto dvě pravděpodobnosti dají v součtu jedničku. A pokud se nám podaří spočítat pravděpodobnost, že žádní dva žáci nemají narozeniny ve stejný den, pak už pomocí úpravy této rovnice snadno vypočítáme i druhou pravděpodobnost, že alespoň dva ty narozeniny ve stejný den mají. Pojďme vypočítat pravděpodobnost, že žádní dva nemají narozeniny ve stejný den a to v tomto zjednodušeném případu se čtyřmi žáky. Při podobných situacích je užitečné vymyslet si nějaký proces, jak postihnout všechny možnosti. To znamená, pojďme postupně jednotlivým žákům přiřazovat data narození, data narozenin. A pojďme počítat pravděpodobnost, že se žádné nezopakuje. Začneme u Adama, tím že je první, tak se nemá s kým zopakovat, tedy pravděpodobnost, že se s nikým nezopakuje je jedna, sto procent. Adam obsadí nějaké datum v kalendáři a proto Bára už nemá stoprocentní šanci, že se nezopakuje, ale tento jeden den už bude chybět, proto její šance je jenom 364 dnů z 365 možných. Bára obsadí nějaký další den v kalendáři a pro Cyrila tak už zbyde pouze 363 dnů z celého roku. No a nakonec pro Danielu zbyde už pouze o tři dny méně, tedy 362 dnů z celého roku. Určitě je dobré uvést dva předpoklady, které tady mlčky používáme. Jednak používáme předpoklad, že pravděpodobnost, že se člověk narodí v nějakém daném dni je vždy stejná, tedy nejsou v roce žádné dny, kdy by byla vyšší pravděpodobnost narození. Dále předpokládáme, že data narození jednotlivých žáků jsou nezávislá. To znamená, že žáci nejsou nějak systematicky vybráni z nějaké zvláštní skupiny, ale jsou to náhodně vybraní žáci napříč populací. Díky tomu můžeme pravděpodobnosti mezi sebou násobit a dojít tak k pravděpodobnosti průniku těchto jevů, neboli že to nastane všechno zároveň. Výraz trochu upravíme a uvidíme, že má i kombinatorickou logiku. Jedničku si přepíšeme jako zlomek 365 lomeno tři sta šedesáti pěti. Je to logické, Adam si může vybrat kterýkoliv den pro své narozeniny, protože se nemá s kým zopakovat. A nyní přepíšeme výraz jako jeden velký zlomek, kde budeme násobit čitatele zvlášť, jmenovatele zvlášť, v čitateli tak dostáváme 365 krát 364 krát 363 krát 362 a ve jmenovateli dostáváme 365 krát 365 krát 365 krát 365. Pojďme se podívat na kombinatorický význam čitatele a jmenovatele. Ve jmenovateli máme 365 na čtvrtou, což jsou čtyřčlenné variace z 365 prvků, ale jsou s opakováním, protože s každým dalším výběrem nám neubývá počet možností, stále máme na výběr 365 krát 365 a tak dále. V čitateli, když si to přepíšeme klasickým kombinatorickým podílem, máme 365 faktoriál lomeno 365 minus 4 faktoriál. Což jsou přesně čtyřčlenné variace z tři sta šedesáti pěti prvků a bez opakování. Proto nám ubývá počet možností. Je to logické, protože všechny možné výsledky je libovolné rozdělení narozenin do kalendáře a to včetně opakování. Příznivé výsledky, kdy se nikomu narozeniny neopakují, je opět rozdělení narozenin do kalendáře, ale bez opakování. Zjednodušenou situaci se čtyřmi žáky jsme vyřešili a ukázala nám cestu, jak vyřešit i složitější případ s třiceti žáky. Pojďme na něj, akorát zde bude asi potřeba si udělat trošku víc místa, aby se nám tam všecko vešlo. Opět budeme počítat pravděpodobnost, že žádní dva z třiceti žáků nemají narozeniny ve stejný den. Můžeme použít jak kombinatorický tak pravděpodobnostní přístup. Kombinatoricky budeme mít zlomek v čitateli třicetičlenné variace z 365 prvků bez opakování a ve jmenovateli stejné variace ale s opakováním. Můžeme to také rozepsat pomocí faktoriálů, v čitateli nám tak zbyde pouze 365 faktoriál s variací, jmenovatel přejde do jmenovatele, dostaneme tam 365 minus 30 faktoriál a krát 365 na třicátou, což jsou variace s opakováním. Mohli bychom ještě rozepsat faktoriály a zkrátit je. Dostali bychom tak v čitateli 365 krát 364 krát 363 a tak dále, a končili bychom číslem 336, protože číslo 335 a menší činitele už se zkrátí s faktoriálem ve jmenovateli. Ve jmenovateli pak zbyde pouze 365 na třicátou. Otázka je, jak teď dospět k nějakému konkrétnímu výsledku. Snadno se nám totiž stane, že pokud zadáme některý z těchto výrazů do kalkulačky, odpoví nám kalkulačka matematickým errorem, protože čísla, která jí budou vycházet, budou příliš velká. Jedno z řešení by bylo použít poslední výraz, ještě ho krátit a postupně ho zadávat do kalkulačky. A to by zvládla i velice základní kalkulačka. Druhá možnost je použít nějakou pokročilejší kalkulačku a nebo nějaký vhodný on-line nástroj, například Wolfram Alpha. Jedná se o nástroj, který je bezplatně dostupný on-line. Jednoduše do něj zadáme výraz, který chceme vyhodnotit. Použijeme prostřední výraz, protože pro zadání je asi nejjednodušší. A jakmile máme zadáno, stačí stisknout Enter nebo tlačítko rovná se na konci řádku. Pro umocňování používáme symbol stříšky, najdete ho na anglické klávesnici u čísla 6. Pojďme si nechat vypočítat výsledek. Je dobré, že program nám nejprve ukáže, jak výraz pochopil, my si tak můžeme zkontrolovat, že počítal to, co jsme chtěli. A zde už máme výsledek v podobě desetinného čísla, 0,29368 a tak dále. Výsledek určitě zaokrouhlíme a rovnou ho můžeme převést na procenta. Dostáváme tak výsledek 29,37 procent. Možná už by se nám chtělo výsledek dvakrát podtrhnout. Ale pozor, toto není pravděpodobnost, na kterou se nás v úloze ptali. Toto je pravděpodobnost opačného jevu, že nikdo nebude mít narozeniny ve stejný den. Vypočítat ale pravděpodobnost, kterou chceme, už je poměrně jednoduché. Je to jednoduše jedna minus pravděpodobnost opačného jevu. Tedy pravděpodobnost, že nikdo nemá narozeniny ve stejný den. Je to jednoduchá úprava rovnice z úvodu. Buď můžeme zadat do kalkulačky jedna minus výsledek, který nám vyšel, anebo jenom lehce poupravit výraz ve Wolfram Alpha. On nám s radostí výsledek přepočítá a my tak vidíme, že pravděpodobnost je 0,7063 a tak dále. Přibližně 70,63 procent. Pravděpodobnost, že v třicetičlenné třídě mají alespoň dva žáci narozeniny ve stejný den. Pro mnoho lidí je výsledná pravděpodobnost překvapivě vysoká, proto dostala tato úloha nebo tento princip název narozeninový paradox. Pokud byste se o něm chtěli dozvědět více, určitě najdete na internetu spoustu zajímavých zdrojů.