Kombinatorika
Kombinatorika (5/5) · 13:17

Problém narozeninové pravděpodobnosti Řešení pravděpodobnosti, že nejméně 2 lidé (z celkových 30 v místnosti) mají narozeniny ve stejný den.

Navazuje na Pravděpodobnost náhodných jevů.
... Jeden z vás poslal docela zajímavý problém, tak jsem si řekl, že ho vyřeším. Úloha je zadána následovně. Mám skupinu 30 lidí, tedy 30 lidí v místnosti. Jedná se o 30 náhodně zvolených lidí. A otázkou je, jaká je pravděpodobnost, že se alespoň dvě osoby narodily ve stejný den? To je docela vtipná otázka, protože to je kapacita většiny tříd. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň někdo ve třídě sdílí s někým narozeniny? Takto by se to dalo také formulovat. Je to stejné jako říct: Jaká je pravděpodobnost, že někdo sdílí s někým jiným narozeniny. Narozeniny by mohly mít dvě osoby nebo čtyři osoby ve stejný den. ... Na první pohled úloha vypadá složitě, protože zahrnuje spoustu případů, kdy je to pravda. Dvě osoby by mohly sdílet narozeniny. Tři osoby by mohly sdílet narozeniny. Dokoce 29 lidí by mohlo mít narozeniny ve stejný den. Všechny tyto příklady vyhovují naší úloze. Najdu tedy všechny pravděpodobnosti těchto případů? A následně je sečtu? To začíná být velmi složité. Potom bych musel rozlišovat, čí narozeniny jsou a porovnávat. Musel bych použít kombinace. Takhle to je velmi složité vyřešit, pokud neučiníte jeden zjednodušující krok. Je to opakem... Namaluji prostor reprezentující pravděpodobnost. Řekněme, že toto je množina všech možných případů. Nakreslím to silnější čarou. .... Řekněme tedy, že toto jsou všechny možné jevy mého prostoru s pravděpodobností. Je to 100 % všech možných jevů. ... Co chceme vědět... Nakreslím to nekřiklavou barvou. No moc se mi to nepovedlo, ale to je jedno. Řekněme, že toto je ta pravděpodobnost, tato plocha, o které nevím, jak je velká, kterou zjistíme. Řekněme, že toto je pravděpodobnost, že někdo sdílí narozeniny s někým jiným. Co reprezentuje tato plocha? A co znamená tato plocha? To znamená, že pokud toto jsou všechny případy, kde někdo sdílí narozeniny s někým jiným, pak toto jsou všechny případy, kde nikdo nesdílí narozeniny. ... Nebo se dá říct, že všichni ze 30 lidí se narodili v jiný den, ... To je to, na co se snažíme přijít. Nazvu to pravděpodobností sdílení. Budu nazývat pravděpodobnost sdílení pravděpodobností "s". ... Jestliže tato celá plocha je 1 nebo 100%, tato zelená plocha bude tedy 1 minus pravděpodobnost "s". Toto tedy bude 1 mínus pravděpodobnost "s" Nebo pokud bychom mohli říci, že toto je ta pravděpodobnost - či jiným způsobem bychom mohli říci, ve skutečnosti to je ta nejlepší cesta, jak bychom o tom mohli přemýšlet. Pokud je toto proměnná, pak je toto pravděpodobnost různých narozenin. Toto je pravděpodobnost, že všech 30 lidí má 30 různých narozenin. Nikdo s nikým nesdílí. Pravděpodobnost, že někdo sdílí s někým jiným plus pravděpodobnost, že nikdo nesdílí s nikým... pak všichni mají odlišné narozeniny... což se má rovnat 1. Protože budeme buď v této situaci, nebo budeme v tamté situaci. Nebo můžete říct, že jsou rovni 100 %. Tak či tak, 100% a 1 je totéž. Je to 100% Takže když přijdeme na pravděpodobnost, že každý má narozeniny v tentýž den, mohli bychom to odečíst od 100. Pojďme se podívat. Tohle můžeme jen přepsat. Pravděpodobnost, že někdo sdílí narozeniny s někým jiným, se rovná 100% minus pravděpodobnost, že má každý narozeniny samostatně. A důvod, proč tohle dělám, je ten, že - jak jsem říkal na začátku - je celkem těžké to vyřešit. Víte, můžu zjistit pravděpodobnost, že 2 lidé mají narozeniny ve stejný den, 5 lidí už bude trochu matoucích. Ale tady, když chci zjistit pravděpodobnost, že každý má narozeniny v jiný den, je to vlastně jednodušší pravděpodobnost na řešení. Takže jaká je pravděpodobnost, že každý má narozeniny v jiný den? Pojďme o tom přemýšlet. ... Osoba č. 1 Jen pro zjednodušení, představme si případ, že máme v místnosti jen 2 osoby. Jaká je pravděpodobnost, že mají narozeniny v jiný den? Pojďme se podívat, osoba č. 1, její narozeniny mohou být v 365 různých dnech z 365 dnů v roce. Ať už je má kdykoliv. A pak osoba č. 2, když chceme zajistit, aby neměli narozeniny ve stejný den, v kolika dnech by se mohla narodit osoba č. 2? No, mohla by se narodit v kterýkoliv den, kdy se nenarodila osoba č. 1. Takže máme 364 možností z 365. Pokud byste tedy měli 2 osoby, pravěpodobnost, že ani jedna se nenarodila ve stejný den... Je to jen 1. Bude se rovnat 364/365. Co se stane, kdybychom měli 3 osoby? Tak v první řadě první osoba by se mohla narodit kdykoliv. Druhá osoba by se mohla narodit v 364 možných dnech z 365. A nyní třetí osoba, jaká je pravděpodobnost, že třetí osoba se nenarodila na narozeniny některé z předchozích dvou? Dva dny jsou vyřazené, takže pravděpodobnost je 363/365. Vynásobíte je a dostanete 365 krát 36... vlastně bych měl tohle přepsat. Místo, abych říkal, že toto je jedna, napíšu to jako... V čitateli bude 365 krát 364, ve jmenovateli 365 na druhou. Protože chci, abyste viděli vzor. Tady je pravděpodobnost 365 krát 364 krát 363 nad 365 na třetí. A tak, všeobecně, když budete tohle nadále provádět do 30, pravděpodobnost, že nikdo nemá narozeniny ve stejný den, se bude rovnat 365 krát 364 krát 363... Budu tady mít 30 výrazů. Až kam? ... Až k 336. To bude vlastně 30 výrazů děleno 365 na třicátou. A hned teď to můžete zadat do kalkulačky. Zadání 30 čísel vám bude chvíli trvat a dostanete pravděpodobnost, že nikdo nesdílí narozeniny s nikým dalším. Ale předtím, než to uděláme, dovolte mi ukázat vám něco, co to může trochu zjednodušit. Existuje nějaký způsob, kterým mohu toto matematicky vyjádřit s pomocí faktoriálů? Nebo kterým mohu s pomocí faktoriálů vyjádřit toto? Pojďme se nad tím zamyslet. Co je 365 faktoriál? 365 faktoriál se rovná 365 krát 364 krát 363... až k 1. Jen stále násobíte. Je to obrovské číslo. Nyní, když chci v tomto případě jen 365 krát 364, musím se zbavit všech čísel tady. Jedna věc, kterou jsem mohl udělat, je vydělit toto všemi těmito ciframi. Čili 363 krát 362... až k 1. Je to totéž jako dělení 363 faktoriálem. 365 faktoriál děleno 363 je v podstatě toto, protože všechny tyto výrazy se vykrátí. Takže toto se rovná 365 faktoriálu nad 363 faktoriálem, nad 365 na druhou. A samozřejmě je v tomto případě skoro hloupé se obávat faktoriálů, ale užitečnější to bude, jakmile budeme mít něco většího, než jen tyto dva výrazy. Takže stejnou logikou se toto bude rovnat 365 faktoriálu nad 362 faktoriálem nad 365 na druhou. Vlastně, další zajímavá věc - jak jsme dostali těch 365? Promiňte, 365 faktoriál? No, 365 minus 2 je 363, že? A to dává smysl, protože jsme tady chtěli jen 2 výrazy. Chtěli jsme jen dva výrazy. Takže jsme chtěli dělit faktoriálem, který je o dvě menší, a zbyly by nám pouze dva nejvyšší výrazy. Toto je tedy rovné... můžete to napsat jako 365 faktoriál děleno (365 - 2) faktoriálem. 365 minus 2 je 363 faktoriál, nakonec zůstanou tyto 2 výrazy a je to. A rovněž tady, čitatele byste mohli přepsat jako 365 faktoriál děleno (365 - 3)... měli jsme 3 osoby... faktoriálem. A to už, doufám, dává smysl, že? Je to totéž jako 365 faktoriál... no 365 děleno 3 je 362 faktoriál. To se rovná 365 krát 364 krát 363 a tak dále, děleno 362 krát, a podobně. To se vykrátí se vším ostatním a zbyde vám toto. Což máme tady. Stejnou logikou můžeme napsat tuto horní část jako 365 faktoriál nad čím? 365 minus 30 faktoriál. A všechno tohle jsem dělal jen proto, abych vám mohl ukázat vzor a protože toto je, upřímně řečeno, jednodušší zadat do kalkulačky, pokud víte, kde je tlačítko faktoriálu. Pojďme teď zjistit, jaká je celá pravděpodobnost. Zapneme kalkulačku a chceme... začněme čitatelem. 365 faktoriál dělěno... no, kolik je 365 minus 30? 335. Děleno 335 faktoriálem - to je celý čitatel. Teď vydělíme čitatele 365 na třicátou. Necháme kalkulačku přemýšlet a dostaneme 0.2936. Výsledek je 0.2936 Vlastně 0.2937, když to zaoukrohlíte, což se rovná 29,37% Nyní si vzpomeňte, co jsme celou dobu dělali, byla to pravděpodobnost, že nikdo nesdílí narozeniny s nikým dalším. Jednalo se o pravděpodobnost, že každá osoba má odlišný den narozenin od všech ostatních. A řekli jsme, že pravděpodobnost, že někdo sdílí narozeniny s někým dalším, nebo s více lidmi, se rovná všem možnostem... Tedy 100%, prostor pravděpodobnosti, minus pravděpodobnost, že nikdo nesdílí své narozeniny s nikým. To se rovná 100 % minus 29,37 %. Dalším způsobem to lze zapsat jako 1 minus 0.2937, což se rovná... čili pokud to chci odečíst od 1... 1 minus... tohle jen znamená odpověď. To znamená 1 minus 0.29. Vyjde vám 0.7063 Takže pravděpodobnost, že někdo sdílí narozeniny s někým dalším je 0.7063... a tak dále. Což je přibližně rovno 70,6%. Je to celkem elegantní výsledek, protože pokud máte 30 lidí v místnosti, můžete říct, ty jo, jaká je šance, že někdo má narozeniny ve stejný den jako někdo další? Je vlastně celkem vysoká. Na 70 %, pokud máte skupinu 30 lidí, nejméně 1 osoba sdílí narozeniny s nejméně jednou další osobou v místnosti. Takže je to celkem elegantní problém a elegantní výsledek současně. Každopádně, na viděnou v dalším videu. ...
video