Kombinatorika
Přihlásit se
Kombinatorika (3/5) · 6:52

Tři panny při pěti hodech mincí

Navazuje na Pravděpodobnost náhodných jevů.
Začneme znova s férovou mincí a namísto 4 hodů hodíme minci pětkrát. 5 hodů férovou mincí. V tomto videu chci určit pravděpodobnost toho, že padne přesně třikrát líc. Uvažujte nad tím takhle: kolik různých, stejně pravděpodobných možností existuje při 5 hodech? Při 1. hodu jsou 2 možnosti: líc nebo rub. Při 2. hodu jsou znova 2 možnosti, při 3., 4. a 5. hodu opět 2 možnosti. To je 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 (doufám, že jsem to řekl pětkrát), neboli 2 na 5. To je 32 stejně pravděpodobných možností. 2 krát 2 je 4, krát 2 je 8, krát 2 je 16, krát 2 je 32. Pro spočtení této pravděpodobnosti stačí určit při kolika z těchto možností padne třikrát líc. Můžeme si vypsat všech 32 možností a sečíst počty líců, ale použiju radši jiný způsob který jsem načrtnul v předešlém videu. Máme 5 hodů (nakřeslím je) a chceme přesně 3 líce, které označím líc A, líc B, líc C, i když později ve videu uvidíte, že mezi nimi nebudu rozlišovat. Není rozdíl, jestli padnou v pořadí: líc A, líc B, líc C, rub, rub, nebo v pořadí: líc A, líc C, líc B, rub, rub. Tyto 2 možnosti nepočítáme jako 2 různé, ale jenom jako 1. Takže teď musíme určit všechna možná uspořádání líců A, B, C (pokud by záleželo na pořadí), které pak vydělíme počtem všech možných uspořádání těchto 3 líců. Kolika způsoby je možné vložit 3 věci (A, B, C) do těchto 5 přihrádek, které znázorňují hody mincí, kdyby záleželo na pořadí? Začneme s A. V přihrádkách není ani jeden líc, takže líc A může být v 5 různých přihrádkách tedy máme 5 možností pro A. Zvolím například tuhle, ale může to být i kterákoliv jiná. Když je už 1 obsazená, kolik dalších možností zůstává pro líc B? Volné jsou už jenom 4 přihrádky, tedy zůstávají 4 možnosti. Pokud líc A je tady, líc B může být v kterékoli zbývající. Pokud by A bylo zde, B může být v kterékoli ze zbývajících 4. Řekněme, že líc B skončí tady. Obsadili jsme 2 místa, kolik tedy zůstává pro líc C? Pro líc C zůstávají 3 přihrádky. Opět to může být kterákoliv. Zvolím například tuhle. Kdyby záleželo na pořadí, kolika různými způsoby můžeme 3 lícům přidělit 3 místa z 5? Je to 5 krát 4 krát 3. 5 krát 4 krát 3 se rovná 60. 60 různých možností, jak seřadit líce A, B, C v 5 přihrádkách neboli hodech. Zřejmě ale není 60 možností, jak získat 3 líce když mám jenom 32 stejně pravděpodobných možností. Důvod, proč jsem dostal tak velké číslo je, že počítáme tento konkrétní případ jako odlišný od případu, kde by B bylo zde, A zde a pak C zde, no je třeba si uvědomit, že tyto 2 případy nejsou různé. Nemusíme brát v potaz všechny možnosti uspořádání hodů. Proto musíme vydělit číslo 60 počtem různých uspořádání těchto 3 hodů. Pokud mám 3 věci na 3 umístěních, například zde mám líc v 2. 3. a 5. hodu, kolika různými způsoby je můžu uspořádat? Mám 3 pozice. Kolika způsoby můžu uspořádat A, B, C v těchto 3 pozicích? Mám 3 pozice pro A. Můžu zvolit kteroukoliv z těchto 3 pozic pro A. Pak pro B zůstanou 2 pozice a pro C 1 pozice, když už A a B obsadili 2 pozice. To je 3 krát 2 krát 1 možností uspořádání třech různých věcí. 3 krát 2 krát 1 je 6. Proto počet všech možností pro hod 3 lícú při 5 hodech mincí (použiju jinou barvu) bude roven 5 krát 4 krát 3 děleno počet možných uspořádání těchto 3 hodů. Nechceme započítat, že by tohle uspořádání bylo odlišné od tohohle. Proto vydělíme číslem (použiju oranžovou) 3 krát 2 krát 1. V čitateli je 120, ne, promiňte, 60 děleno 6, tedy 10 možností kdy můžou padnout přesně 3 líce z 32 všech možných výsledků hodů. Tedy pravděpodobnost hodu 3 líců je 10 z 32 stejně pravděpodobných možností. To je šance 5 děleno 16.
video