Kombinatorika
Přihlásit se
Kombinatorika (9/12) · 7:43

Příklad: sada karet Kolik je možných kombinací 9 karet? U12_L2_T3_we3 

Navazuje na Pravděpodobnost náhodných jevů.
Karetní hra používá 36 unikátních karet, čtyři barvy, káry srdce, kříže a plky - to by měly být piky ne plky - s čísly karet od 1 do 9 v každé barvě Je vybrána sada karet. Tato sada se skládá z 9 karet, které můžou být srovnány jakkoliv si hráč zvolí. To je dostatečně fér. Kolik sad po 9 kartách je možné mít v ruce? Pojďme o tom popřemýšlet. Je tu 36 unikátních karet - a nebudu pochybovat o tom, že víte, že je tam devět čísel v každé ze čtyř barev, 4 krát 9 je 36. Ale pojďme o nich přemýšlet jako o kartách od 1 do 36, vybereme devět z nich. Nejdříve řekněme, že mám 9 míst v ruce, ano? 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Dobře? Vyberu si devět karet do ruky. A kolik možných variant si můžu vybrat pro první kartu? Dobře, máme 36 unikátních karet, pro první místo je 36 možností. Ale teď je tato karta již součástí karet v mé ruce. Kolik mi z nich tedy zbývá pro druhé místo na výběr? Dobře, právě jsem jednu vybral, takže zbývá na výběr 35. A pro třetí místo 34, a pak pořád stejně dál a dál. Pak zbývá 33 na výběr, 32, 31, 30, 29, a 28. Takže byste mohli říci, že tam máme 36 krát 35 krát 34 krát 33 krát 32 krát 31 krát 30 krát 29 krát 28 možných sad na výběr. Tohle by mohla být pravda, pokud by záleželo na pořadí. Tohle by mohla být pravda, kdybych tu měl 15 karet. Možná mám - dám to sem - možná mám pikovou 9, a pak mám několik dalších karet. A možná, že mám-- to je jedna sada. A pak mám další. Pak mám karty jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm, osm. A mám osm dalších karet. Nebo možná další sada, kterou mám je osm karet, 1, 2, 3 4, 5, 6, 7, 8, a pak mám pikovou 9. Kdybychom brali tyto dvě sady jako různé, protože v nich máme sice úplně stejné karty, ale v rozdílném pořadí, pak by to, co jsem právě vypočítal, dávalo velmi dobrý smysl, protože nám záleželo na pořadí. Ale v pravidlech stojí, že karty mohou být řazeny jakkoliv hráč chce, takže na pořadí nezáleží. Takže to přepočítáme. Spočítáme všechny možné způsoby, jakým může být uspořádáno stejné množství karet. Takže abychom se nepřepočítali, musíme to vydělit počtem způsobů, kterými může být přeskupeno devět karet. Takže tohle musíme vydělit takovým číslem, kolik je způsobů pro přeskupení devíti karet. Takže kolika různými způsoby můžeme přeskupit devět karet? Pokud mám devět karet a hodlám vybrat jednu z těchto devíti na první místo, no, to znamená, že mám 9 možností na výběr. Potom na obsazení druhého místa mám 8 možností, protože jsem už dal jednu na první místo, takže mi zbývá 8 karet. Potom 7, pak 6, pak 5, pak 4, pak 3, pak 2, pak 1. A na poslední místo tu zbývá 1 karta. Takže tohle číslo, když vezmeš 9 krát 8 krát 7 krát 6 krát 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1 nebo 9 - začínáš s 9 a pak to vynásobíš každým číslem menším než 9. Každým, myslím, že bychom mohli říci, přirozeným číslem menším než 9. Toto se nazývá 9 faktoriál a zapíšete ho vykřičníkem. Takže chceme-li přemýšlet o všech možných způsobech, kterými můžeme získat všechny možné kombinace pro danou sadu, toto je počet sad, když nám bude záležet na pořadí, ale pak to musíme vydělit počtem způsobů, kterými můžeme karty přeuspořádat, abychom se nepřepočítali. A toto bude odpověď a tohle správná odpověď. A teď je to velmi, opravdu velmi obrovské číslo. Pojďme zjistit, jak velké je. Máme 36 - dovolte mi posunout to trošku do leva - 36 krát 35 krát 34 krát 33 krát 32 krát 31 krát 30 krát 29 krát 28 děleno 9. No, můžu to takhle udělat. Můžu to uzávorkovat - děleno závorkami, 9 krát 8 krát 7 krát 6 krát 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1. Teď to snad zvládne kalkulačka. A vyhodilo nám to číslo 94 143 280. Tohle dám na stranu, ať to můžu přečíst. Takže toto číslo nám dává 94 143 280. Takže to je odpověď na tento problém. Existuje 94 143 280 možných sad po 9 kartách v tomto případě. Tak jsme se tím nějak prokousali. Odůvodnili jsme postup. Pro přesně takové případy existuje vzorec. A způsob, jakým se tento vzorec zapisuje je- máme 36 věcí a vybereme 9 z nich. Dobře? A nezáleží nám na pořadí, takže někdy se to zapisuje jako n nad k. Budu to zapisovat tímhle způsobem. Takže co jsme tu udělali? Máme 36 věcí. Vybrali jsme 9. Takže v tomhle čitateli, tady byl 36 faktoriál. Ale 36 faktoriál by se rozepisoval až do 27, 26, 25 a tak pořád dál. Ale my jsme se zastavili na devátém místě po 36. Takže tohle je 36 faktoriál, tato část tady, tahle, to není jen 36 faktoriál. To je 36 faktoriál děleno 36 minus 9 faktoriál. Kolik je 36 mínus 9? Je to 27. Takže 27 faktoriál - pojďme o tom popřemýšlet - 36 faktoriál, to by bylo 36 krát 35 a tak dále krát 28 krát 27 a stále dál až k 1. Tohle je 36 faktoriál. Kolik je 36 minus 9 faktoriál, to je 27 faktoriál. Takže kdybyste dělili 27 faktoriálem, 27 faktoriál je 27 krát 26, až do čísla 1. Dobře, tamto i tohle jsou úplně stejné věci. Tohle je 27 krát 26, takže tohle se vykrátí. Takže kdybys 36 vydělil 36 mínus 9 faktoriál, dostaneš prvních, nejvyšších devět členů z 36 faktoriál, což je přesně to, co máme támhle. Takže tohle je to. A pak jsme to vydělili 9 faktoriál. A tomuhle se říká kombinace 9-té třídy ze 36 prvků. A někdy tenhle vzorec uvidíte zapsaný jako kombinace k-té třídy z n prvků. A mohou to zapsat tak, že se to rovná n faktoriál nad n mínus k faktoriál a ve jmenovateli k faktoriál. A tohle je obecný vztah pro to, když máte n věcí a chcete zjistit, kolik je všech možných způsobů, jak vybrat k věcí z těch n věcí a nezáleží vám na pořadí. Vše na čem záleží je, jakých k věcí jste vybrali, nezáleží vám na pořadí, ve kterém jste těchto k věcí vybrali. Takže to je to, co jsme tu udělali.
video