Komplexně sdružená čísla

Dnes máme najít komplexně sdružené číslo ke komplexnímu číslu 7 - 5i. Už jsme se o tom jednou bavili a víme, že to je jednoduché. Komplexně sdružené číslo k jakémukoli komplexnímu číslu má stejnou reálnou část, a tedy 7, a liší se pouze znaménkem imaginární části. A tedy to naše hledané komplexně sdružené číslo nebude 7 - 5i, ale 7 + 5i. My už víme, že takové komplexně sdružené číslo, pokud toto komplexní číslo je z, tak se značí jako z s pruhem. Také bychom to ale mohli napsat ještě takto: (7 - 5i) s pruhem. To je to stejné, jako z s pruhem. z s pruhem je (7 - 5i) s pruhem. Ještě to tu mohu napsat znova, abychom to hezky viděli. Máme-li číslo z = 7 - 5i, tak z s pruhem bude 7 + 5i. Jenom změníme znaménko u imaginární části. Vidíme, že je velice jednoduché takové komplexně sdružené číslo najít, ale k čemu nám to může být dobré? Už jsme to viděli v minulém videu a teď si to zopakujeme. Když vezmeme komplexní číslo a vynásobíme ho číslem k němu komplexně sdruženým, výsledkem bude číslo reálné, což se může často hodit. Pojďme si to ověřit. Vynásobíme tedy tato 2 komplexní čísla mezi sebou. (7 - 5i) krát (7 + 5i) klasicky roznásobíme: 7 krát 7 je 49 7 krát 5i je + 35i -5i krát 7 je - 35i a -5i krát 5i je - 25i na druhou . Než budeme pokračovat, znovu si zopakujeme to, co už bychom měli vědět a to, že i na druhou je -1 a tedy to, co jsem teď podtrhla je vlastně 25 krát -1 a tedy -25. Tady máme + 35i a - 35i, to se nám hezky vyruší a zbyde nám 49 minus minus 25 tedy plus 25 a tedy 74. Přesně, jak jsem říkala, vynásobíme-li komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým, dostaneme číslo reálné. Ani jsme si to nemuseli takto složitě a dlouze roznásobovat, stačilo si uvědomit, že tady máme něco povědomého. Že tady vlastně máme (a - b) krát (a + b) a to už dávno víme, že je stejné jako a na druhou minus b na druhou. Ten první člen: 7 na druhou minus ten druhý člen na druhou: a tedy 5i, to celé na druhou, což už zase víme, že máme 49 minus 25i na druhou. Jak jsme řekli, 25i na druhou je - 25, takže tady dostaneme 49 minus minus 25, takže zase + 25 a dojdeme ke stejnému výsledku, tedy 74. Ještě jednou: vynásobím-li komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým, dostanu číslo reálné.