NASA a Mars
Přihlásit se
NASA a Mars (3/11) · 7:29

Jak Eratosthenés změřil poloměr Země Využití geometrie k výpočtu obvodu Země.

V tomto videu si budeme povídat o Eratosthenovi, řeckém učenci, který žil před asi dvěma tisíci lety. Eratosthenés našel způsob, bez moderních nástrojů, které máme nyní, jak změřit obvod Země. A v tomto videu se podíváme, jak to udělal. Jádrem Eratosthenova měření je jednoduchý geometrický příklad. Vezměme si tento kruh, na kterém jsou body A a B, a řekněme, že známe vzdálenost mezi body A a B na obvodu toho kruhu. Takže známe velikost oblouku AB. A otázka je, zda s touto informací dokážeme určit obvod našeho kruhu. Jsem si jistý, že si všichni myslíte, že odpověď je očividně ne, protože body A a B jsou jen dva náhodné body na kruhu, tedy pouze znalost jejich vzdálenosti nám moc nepomůže. Potřebujeme nějakou další informaci, aby to nebyly jen náhodné body. Potřebujeme znát úhel, který A a B svírají se středem kruhu. Když toto známe, víme také, jakou část kruhu jsme urazili, protože víme, že každý kruh má celkem 360 stupňů. Tedy se znalostí úhlu théta víme, jakou část kruhu tvoří oblouk AB, a můžeme pomocí extrapolace zjistit obvod. Pojďme si to trochu ujasnit na nějakých příkladech. Podívejme se na kruh vpravo, opět máme body A a B. A zde můžete jasně vidět, že úhel, který se středem tvoří A a B, je 90 stupňů. A jelikož 90 se do 360 vejde 4krát, tak oblouk AB je 1/4 obvodu kruhu, což znamená, že vyšrafovaná část se do kruhu vejde 4krát. Tedy v tomto případě je obvod kruhu čtyřnásobek oblouku AB. Pojďme to zkusit ještě jednou s tímto kruhem, opět s body A a B. A tento úhel mezi body A a B, který jsme naměřili, bude 36 stupňů. Jelikož se 36 vejde do 360 desetkrát, víme, že deset těchto kousků se vejde do kruhu. A v tomto případě tedy obvod bude 10, tj. počet kousků, krát délka jednoho kousku AB. A nyní obecně. Obvod kruhu je dán počtem kousků, které máme, krát délka jednoho kousku. A počet kousků získáme jako 360/théta, což je úhel, který A a B svírají se středem, a délka jednoho kousku je vzdálenost AB. Tedy když nyní známe tyto dvě informace, oblouk AB a úhel bodů A, B a středu kruhu, můžeme určit obvod – a to je základ Eratosthenovy metody. Pojďme to nyní využít. Teď mějme další kruh, ale tentokrát je jím Země. A bodem A budiž egyptské město Alexandrie. To je místo, kde Eratosthenés žil. Bod B je město Asuán (starořecky Syene). V Eratosthenově době bylo známo, že vzdálenost Alexandrie a Asuánu je asi 800km. V té době nepoužívali kilometry, ale převod známe, tak se nemusíme zabývat tehdejšími jednotkami. Vzdálenost mezi Alexandrií a Asuánem je 800km. A tak s ohledem na předchozí příklady vidíme, že k vypočtení obvodu Země nám chybí zjistit, jaký úhel svírají tato dvě města se středem Země. Skvělá věc na Eratosthenově metodě je, že našel skvělý způsob, jak změřit tento úhel. Jak to tedy udělal? Bylo známo, že v Asuánu je hluboká studna, ve které jste v poledne letního slunovratu mohli vidět sluneční paprsky, jak osvětlují dno studny. A to znamená, vzhledem k hloubce studny, že sluneční paprsky musely na Zemi dopadat rovnoběžně se studnou. Nakreslíme si tyto paprsky. Jak víte, Slunce je velmi daleko od Země, a proto můžeme paprsky dopadající na různá místa považovat za rovnoběžné. Zde máme nakreslený paprsek v Alexandrii a v Asuánu. Zajímavou vlastností rovnoběžek je, že pokud máme tyto dvě rovnoběžky, dva paprsky, a tuto polopřímku... Zde máme úhel théta2, který je rovný hledanému úhlu théta1. To je něco, co jste mohli slyšet v hodinách geometrie, říká se tomu shodné úhly. Každopádně je jednoduché si to dokázat. Když víme toto, můžeme místo náročného měření úhlu théta1 celkem snadno měřit úhel théta2. Jak tedy změříme théta2? Je to celkem přímočaré. Přibližme si tuto část obrázku, máme zde povrch Země a polopřímku od středu země, kterou si nahradím svislou tyčkou. Také máme Slunce a jeden z jeho paprsků. Tyčka nám vrhá stín na zem. Změřením délky stínu a tyčky můžeme zkonstruovat trojúhelník a snadno změřit úhel théta2. Jen se musíme podívat na stín vytvořený tyčkou. A to je přesně to, co udělal Eratosthenés. Změřil, že úhel théta2 se rovná 7,2 stupňů. Nyní máme potřebné informace. Úhel, pojmenovaný dále jen théta, který se rovná 7,2 stupňů, a délku oblouku z Alexandrie do Asuánu, 800 kilometrů. S těmito informacemi nám stačí aplikovat vzorec, který již známe, c = 360/théta * AB. To je velmi jednoduché. Za théta dosadíme 7,2 stupně, 800km za AB, zjistíme, že obvod je roven 50*800 km neboli 40 000 km. To je tedy náš odhad, tedy Eratosthenův odhad obvodu Země. Říkejme tomu Eratosthenův obvod. Viděli jste, jak jednoduché pro nás bylo to spočítat, ale všimněte si, že podle našich moderních měření je průměrný obvod Země, jelikož Země není pravidelná koule, kolem 40 075 km. Takže i se zdánlivě primitivní metodou jsme dosáhli poměrně přesného výsledku, s odchylkou kolem půl procenta. To je velmi dobrý výsledek na někoho, kdo žil tak dávno a neměl přístup k nástrojům, které dnes používáme.
video