Přihlásit se

Pravidla pro mocniny - část 1 .

Vítejte u pravidel pro počítání s mocninami, úroveň 1. Začněme příkladem. Řekněme, že máte spočítat 2... - písmo je o něco tučnější, než jsem chtěl, ale nechme to tak - takže 2 na třetí krát... - tečka znamená totéž co krát - když se vás zeptám, kolik je 2 na třetí krát 2 na pátou, jak to spočítáte? Přece jenom použiju tenčí písmo, tohle nevypadá dobře. Takže, 2 na třetí krát 2 na pátou. Asi znáte jeden způsob, jak dojít k výsledku. Můžete vypočítat, že 2 na třetí je 8 a 2 na pátou je 32. A pak obě čísla vynásobíte. 8 krát 32 je 240 plus 16, celkem 256. To je jedna možnost. Je to vhodný postup, protože není těžké spočítat 2 na třetí a 2 na pátou. Ale když jde o větší čísla, tento postup může být trochu náročnější. Ukážu vám proto, jak používat pravidla pro exponenty a jak násobit mocniny nebo exponenty, a přitom nemuset tolik počítat. Můžete tak pracovat s většími čísly, na která už běžné počty nestačí. Co to vlastně znamená 2 na třetí krát 2 na pátou? 2 na třetí je 2 krát 2 krát 2. To celé násobíme 2 na pátou. Což je 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2. Co vidíme? 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2. Neděláme nic jiného než násobíme dvojkou, a to kolikrát? No, jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm, osmkrát. Takže je to totéž jako 2 na osmou. Zajímavé... 3 plus 5 je 8. Dává to smysl, protože 2 na třetí je dvojka vynásobená sama sebou, a to 3krát, 2 na pátou je dvojka vynásobená sama sebou 5krát, a když násobíme tato dvě čísla, násobíme dvojku dvojkou celkem 8krát. Doufám, že jsem vás teď dostatečně zmátl. Zkusme jiný příklad. 7 na druhou krát 7 na čtvrtou. Tohle má být čtyřka. Což se rovná 7 krát 7, neboli 7 na druhou, krát - a teď si rozložíme 7 na čtvrtou - 7 krát 7 krát 7 krát 7. Takže násobíme sedmičku sedmičkou, a to 6krát, což se rovná 7 na šestou. Obecně tedy platí, že když násobím exponenty stejného základu, můžu prostě sečíst exponenty. Takže 7 na stou krát 7 na padesátou - abychom si to ukázali na příkladu - bez kalkulačky by bylo velice těžké spočítat 7 na stou. A podobně obtížné by bylo spočítat 7 na padesátou. Ale můžeme říct, že je totéž jako 7 na 100 plus 50, což se rovná 7 na sto padesátou. Musím vás ale upozornit na jednu věc: Tento postup platí pro násobení. Kdybych měl totiž spočítat 7 na stou plus 7 na padesátou, tak s tím nic nenadělám. Toto číslo nemůžu zjednodušit. Ale můžeme zkusit jeden trik. Jestliže mám 2 na osmou krát 2 na dvacátou, tak víme, že můžu sečíst exponenty. Výsledek je tedy 2 na dvacátou osmou, OK? A co kdybych měl 2 na osmou plus 2 na osmou? To je trochu složitější příklad. Řekl jsem, že u sčítání toho nemůžeme moc dělat. Nemůžeme příklad zjednodušit. Ale je tu jedna zvláštnost: Ve skutečnosti tu máme dvakrát 2 na osmou. 2 na osmou tady, a 2 na osmou tady. Takže je to totéž jako 2 krát 2 na osmou, je to tak? 2 krát 2 na osmou. Což je 2 na osmou plus ještě jednou totéž. A 2 krát 2 na osmou, no to je totéž jako 2 na první krát 2 na osmou. A 2 na první krát 2 na osmou, podle našeho pravidla, se rovná 2 na devátou. Říkal jsem si, že si tento trik nenechám pro sebe. A funguje to i se zápornými exponenty. Jestliže mám např. 5 na mínus stou krát 3 na stou, omlouvám se, krát 5 (musí to být taky pětka). Nevím, na co jsem při tom myslel... 5 na mínus stou krát 5 na sto druhou se rovná 5 na druhou, OK? Prostě spočítám mínus 100 plus 102. To má být pětka. Omlouvám se, nějak nejsem ve formě. Což se samozřejmě rovná 25. To je tedy první pravidlo pro počítání s mocninami. Teď si ukážeme další a vyjdeme při něm z podobného principu. Když se vás zeptám, kolik je 2 na devátou lomeno 2 na desátou? Páni! To vypadá dost složitě. Ve skutečnosti ale platí stejné pravidlo. Protože jak jinak můžeme zapsat tento příklad? No, víme, že je to totéž jako 2 na devátou krát 1 lomeno 2 na desátou, OK? A víme, že 1 lomeno 2 na desátou - no, mohli bychom to celé zapsat jako 2 na devátou krát 2 na mínus desátou, OK? Vezmu prostě 1 lomeno 2 na desátou, prohodím čísla ve zlomku a změním znaménko exponentu na mínus. Což myslím znáte už z lekce o exponentech, úroveň 2. A teď můžeme opět sečíst exponenty. 9 plus mínus 10 se rovná 2 na mínus první, což se rovná jedné polovině, OK? Máme tedy před sebou zajímavou věc. Jakýkoli exponent pod lomítkem můžete převést do čitatele, jako v tomto příkladě, ale musíte změnit znaménko na mínus. Tím se dostáváme k druhému pravidlu pro mocniny: Pro zjednodušení můžeme říct, že výsledek se rovná 2 na 9 mínus 1, což se rovná 2 na mínus první. Zkusme jiný podobný příklad. Řekněmě... 10 na dvou stou lomeno 10 na padesátou... No, to se rovná 10 na 200 mínus 50, což je 150. Podobně, když budu mít 7 na 40 lomeno 7 na mínus 5, to se bude rovnat 7 na 40 mínus mínus 5. Což se rovná 7 na čtyřicátou pátou. Zkuste se nad tím zamyslet. Dává vám to smysl? Mohli jsme tuto rovnici přepsat jako 7 na čtyřicátou krát 7 na pátou, OK? Tuto část, tj. 1 lomeno 7 na mínus pátou, jsme mohli převést na 7 na pátou, což by nás také dovedlo k výsledku 7 na čtyřicátou pátou. Takže druhé pravidlo pro mocniny, které jsem vám právě ukázal, se ve skutečnosti nijak neliší od prvního pravidla. Jestliže je exponent ve jmenovateli, - musíme mít samozřejmě stejný základ a musí to být dělení - tak ho odečtete od exponentu v čitateli. Pokud jsou oba v čitateli, jako v tomto příkladu: 7 na čtyřicátou krát 7 na pátou, ve skutečnost zde není čitatel, ale když je vlastně násobíte, - a musíte mít samozřejmě stejný základ - tak exponenty sečtete. Přidám ještě jednu variantu pravidla. Ve skutečnosti je to totéž, ale půjde o složitější příklad. Kolik je 2 na devátou krát 4 na stou? Vlastně bych vás tuhle věc neměl učit. Budete muset počkat, až vás naučím následující pravidlo. Ale trochu vám napovím. Je to totéž jako 2 na devátou krát (2 na druhou) na stou. A pravidlo, které vás naučím teď, zní: Když máte číslo na určitý exponent, a toto číslo je umocněno na další exponent, tak stačí vynásobit oba tyto exponenty. V tomto případě 2 na devátou krát 2 na dvou stou. A podle prvního pravidla, které jsme se naučili, se to rovná 2 na dvou stou devátou. V příští lekci to vysvětlím podrobněji. Teď jsem vás asi jenom zmátl. Pusťte si ale následující video a po jeho shlédnutí, myslím, budete ovládat pravidla pro mocniny na úrovni 1. Přeju dobrou zábavu!
video