Slovní úlohy s lineárními funkcemi: členství ve fitku, prodej limonády

Dnes si spočítáme několik slovních úloh na lineární funkce. Tady je první. Fitcentrum má nabídku pro nové členy. Zájemci zaplatí registrační poplatek 500 korun a poté platí měsíčně 300 korun. Kolik bude potenciálního zájemce stát členství na celý rok? Co tedy máme v zadání? Že zájemci, už jenom za to, že se tam zaregistrují, zaplatí 500 korun a poté každý měsíc budou tomu fitcentru platit 300 korun. Takže tu máme nějaký ten poplatek na začátku, to je 500 korun, a poté je to 300 korun za měsíc. To víme. A my chceme zjistit, kolik potenciálního zájemce bude stát členství na celý rok. Jaká je obecně cena toho členství v tom fitcentru? Můžeme si to napsat jako c. Cena členství v tom fitcentru bude ten začáteční poplatek, který je tam vždycky, ať už cvičíme měsíc, nebo klidně 3 roky, takže 500 korun za tu registraci, plus a teď těch 300 korun za každý měsíc. 300 krát počet měsíců, které tam strávíme, to můžeme napsat jako m. To máme vlastně lineární rovnici, tak to bude potom jednoduché si ukázat na grafu, abychom si to ukázali graficky, ale mohli bychom ji dostat do trošku jiného tvaru, aby se nám s tím lépe pracovalo. Nejlépe se nám pracuje s rovnicí ve směrnicovém tvaru, tedy ve tvaru y = kx + q. Toto je v trošku jiném tvaru, ale nebude problém si to přepsat, já to přepíšu a pak si vysvětlíme, co co znamená, jelikož tu nemáme žádné x, žádné y, tak můžete být trošku zmatení. Bude to c se rovná, kx, takže tady máme 300m, plus nějaké konstantní q, plus 500. Tady vlastně vidíme, že y je naše závislá proměnná, závislá na x. Tak to máme obdobné, tady je cena, naše závislá proměnná, kdy ta cena členství závisí na počtu měsíců, které v tom fitcentru strávíme, takže to m je naše nezávislá proměnná, stejně jako nahoře, v tom obecném, to x. 300 je v tomto případě naše směrnice, tedy za měsíc utratíme dalších 300 a 500 je v tomto zadání průsečík s osou y, tady tedy můžeme napsat, že to je průsečík s osou c. Takže teď si podle tohoto můžeme tady vytvořit nějaký takový přibližný graf, jenom ať si to dokážeme představit. Tady dole bude naše nezávislá proměnná, tedy počet měsíců, které strávíme tím, že se budeme potit v tom fitcentru, a závislá proměnná je ta cena toho členství. Tady dole to můžeme brát po měsících, takže tady budou 2, 4, 6, 8, 10 měsíců a tu cenu si tady můžeme rozdělit po dvoustovkách, ať tedy v tom grafu aspoň něco vidíme, 200, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1400, 1600, 1800 a tady je 2000. Podíváme se a tady můžeme počítat podle této rovnice, jak už jsme řekli. Na začátku, když přijdeme do toho fitcentra, ještě jsme ani nesáhli na žádné posilovací stoje, zaplatíme kolik? Rovnou zaplatíme ten registrační poplatek. Takže na začátku, po nula měsících, už zaplatíme 500, což je někde tady, uprostřed mezi 400 a 600. Po jednom měsíci členství zaplatíme tomu fitcentru kolik? m bude 1, takže 300 krát 1, to je 300, plus 500 je 800. Po jednom měsíci už jsme zaplatili fitcentru osm stovek, za to, že chceme být krásní a vysportovaní. Za 2 měsíce zaplatíme 300 krát 2 to je 600 plus 500, to je 1100, za dva měsíce zaplatíme 1100. Už teď máme 3 body, takže není problém to spojit v přímku, nějakou takovouhle zhruba, takhle nějak rychle to bude růst, vidíme, že utrácíme víc a víc peněz a nemáme tady šanci v tomto grafu se dohledat výsledku, ale to bylo jenom proto, abychom si to dokázali představit. To, kolik to toho zájemce bude stát na celý rok, si jednoduše spočítáme z této nebo z této rovnice. Tady máme nahoře víc místa, tak to můžeme dosadit tady. Cena toho členství za rok bude těch 500, registrační poplatek, plus, rok má 12 měsíců, takže to bude 300 za ten měsíc krát 12 měsíců, to bude tedy 500 plus 300 krát 12 je 3600 a 500 plus 3600 je 4100. Takže náš potenciální zájemce o členství ve fitcentru za rok zaplatí 4100 korun. Pojďme na další slovní úlohu. Jirka a Petra mají stánek s limonádou. Sklenici limonády prodávají za 20 korun. Aby pokryli náklady, musí vydělat alespoň 1200 korun. Kolik sklenic limonády musí prodat, aby pokryli náklady? Takže prodávají limonádu a sklenici prodávají za 20 korun a mají nějaké náklady, asi za pronájem stánku nebo pronájem toho místa, kde jim stojí ten stánek a ty náklad jsou tedy 1200 korun. Tolik musí aspoň vydělat, aby byli na nule, aby neprodělávali. Můžeme si to tady napsat. Takže my víme, že oni mají sklenici limonády za 20 korun a potřebují vydělat 1200, aby nebyli v minusu. Můžeme si říct, že y, ta závislá proměnná, bude ten výdělek Jirky a Petry, výdělek, závislá proměnná, který závisí na počtu sklenic, které prodají, takže nezávislá proměnná x bude počet sklenic limonády, kterou zvládnou prodat. Máme tady zase y jako funkci x a můžeme si to tady dolů zapsat do rovnice. Výdělek Jirky a Petry, to y, je rovno čemu? Je to počet sklenic krát 20 korun za tu sklenici. Když to jenom přehodíme to pořadí, tak to je 20 krát x, tedy 20x, to je jednoduché. Nemáme tu už nic dalšího, plus nějaké konstantní q, že by na začátku třeba platili nějaký poplatek nebo něco takového, nic takového tady není, takže y se rovná 20 x je celá naše rovnice. My chceme, aby ten výdělek byl těch 1200, takže si za y jednoduše dosadíme 1200 a dopočítáme to. 1200 se rovná 20 x, jenom obě strany vydělíme dvaceti a dostaneme 1200 děleno dvaceti je 60, 60 se rovná x. Jirka s Petrou tedy musí prodat alespoň 60 sklenic limonády, aby pokryli ty své náklady, které mají. Můžeme si to ještě zaznačit do grafu, nezávislá proměnná je ten počet sklenic, napíšeme tady jenom sklenice, které prodají, a závislá, která závisí na tom počtu sklenic, je ten jejich výdělek. Tady to můžeme zaznačit třeba po desítkách, tady bude 20, tady bude 40 sklenic, 60, 80 a 100, a tady dáme výdělek ve stovkách, takže takto zhruba. Pojďme podle této rovnice. Když prodají 10 sklenic, kolik vydělají? y se rovná 20 krát počet sklenic, 20 krát 10, za 10 sklenic utrží rovných 200 korun. 10 sklenic, 200 korun, tady. Co když prodají 20 těch sklenic? Tak to bude 20 krát 20, to je 400, za 20 sklenic mají 400 korun. A už máme 2 body, které můžeme jednoduše spojit v přímku, nějak takto, a teď hezky vidíme, že jsme opravdu počítali správně, tady dole, že když prodají 60 sklenic, tak opravdu vydělají těch kýžených 1200 korun, které potřebují, aby pokryli ty náklady. A máme hotovo.