Půjčky a úroky
Půjčky a úroky (4/15) · 8:01

Úrok - 2. část Více o jednoduchém a složeném úroku

Trochu zobecníme, co jsme se naučili v minulé prezentaci. Řekněme, že si půjčuji P dolarů. P dolarů, to je kolik jsem si půjčil, takže to je moje původní jistina. Tohle je jistina. r se rovná sazbě, úrokové sazbě, za kterou jsem si půjčil. Můžeme to také napsat jako 100r%, ne? A půjčím si to na... no, nevím, t let. Podívejme se, zda můžeme vytvořit rovnici, abychom zjistili, kolik budu dlužit na konci t let použitím buď jednoduchého nebo složeného úroku. Nejprve uděláme jednoduchý, protože to je jednoduché. V čase 0... tohle bude časová osa... kolik budu dlužit? Tohle je, když jsem si půjčil, takže pokud to splatím hned, budu dlužit jen P, ne? V čase 1 dlužím P plus úrok. Můžete se na to dívat jako na nájem za tyto peníze a je to r krát P. A tohle v předešlém příkladě, v předešlém videu bylo 10%. P bylo 100, takže musím zaplatit 10 dolarů, abych si tyhle peníze půjčil na rok a musel jsem splatit 110 dolarů. A tohle je stejné jako P krát 1 plus r, ne? Protože byste mohli použít jen 1P plus rP. A potom po 2 letech kolik dlužím? Každý rok platíme další rP, ne? V předešlém příkladě to bylo dalších 10 dolarů. Pokud tohle je 10%, každý rok platíme 10% z naší původní jistiny. V roce 2 dlužíme P plus rP... to je, kolik jsme dlužili v roce 1... a potom další rP, takže se to rovná P plus 1 plus 2r. A pokud odstraníme P, dostanete 1 plus r plus r, takže 1 plus 2r. A potom v roce 3 bychom dlužili, co jsme dlužili v roce 2. P plus rP plus rP a potom bzchom zaplatitli další rP. Pokud r je 10% nebo 50% naší původní jistiny, plus rP a to se rovná P krát 1 plus 3r. Takže kolik dlužím po t letech? Je to naše originální jistina krát 1 plus a to bude tr. Můžete tohle rozložit, protože každý rok platíme Pr a bude to t let. A proto to dává smysl. Pokud bych řekl, že si půjčím... uděláme to s čísly. Měli byste na to přijít tímhle způsobem a doporučuji vám to tak dělat. Neměli byste se nazpaměť učit vzorce. Pokud si půjčím 50 dolarů za 15% jednoduchý úrok na 15... řekněme na 20 let, budu na konci 20 let dlužit 50 dolarů krát 1 plus doba 20 krát 0,15, ne? A to se rovná 50 dolarů krát 1 plus... kolik je 20 krát 0,15? Jsou to 3, ne? Správně. Je to 50 krát 4, což se rovná 200 dolarů, abych si vypůjčil na 20 let. 50 dolarů za 15% na 20 let skončí platbou 200 dolarů. Tohle byl jednoduchý úrok a tohle byl vzorec. Podívejme se, zda můžeme udělat to samé se složeným úrokem. Všechno tohle smažu. Takhle jsem to nechtěl smazat. Máme to. OK. Složený úrok. V roce 1 je to stejné, skutečně stejné jako jednoduchý úrok a viděli jsme to v předcházejícím videu. Dlužím P plus a nyní sazba krát P a to se rovná P krát 1 plus r. Stačí. V roce 2 se složený a jednoduchý úrok odlišují. U jednoduchého úroku bychom jen zaplatili další rP a bylo by to 1 plus 2r. U složeného úroku se tohle stane novou jistinou, ne? Pokud je tohle nová jistina, zaplatíme 1 plus r krát, tohle, ne? Naše původní jistina byla P. Po 1 roce jsme zaplatili 1 plus r krát původní jistina krát 1 plus r sazba. V roce 2 zaplatíme, co jsme dlužili na konci roku 1, což je P krát 1 plus r a potom to budeme navyšovat o r procent. Budeme to násobit znovu 1 plus r krát. A to se rovná P krát 1 plus r na druhou. Způsob, jakým o tom můžete přemýšlet u jednoduchého úroku, je, že každý rok jsme přidali Pr. U jednoduchého úroku jsme přidali plus Pr každý rok. Pokud tohle bylo 50 dolarů a tohle je 15%, každý rok jsme přidali 3 dolary... přidali jsme... kolik to bylo? 50%. Přidali jsme 7,50 dolarů na úroku, kde P je jistina, r je sazba. U složeného úroku, každý rok násobíme jistinu krát 1 plus sazba, ne? Pokud jsme v roce 3, budeme to násobit 1 plus r. Rok 3 je P krát 1 plus r na třetí. Rok t bude jistina krát 1 plus r na t-tou. A podívejme se na ten samý příklad. V tomhle případě s jednoduchým úrokem dlužíme 200 dolarů. Podívejme se kolik dlužíme se složeným úrokem. Jistina je 50 dolarů. 1 plus... kolik je sazba? 0,15 Půjčujeme si na 20 let. Tohle serovná 50 krát 1,15 na 20tou. Vím, že to nemůžete přečíst, ale podívejme se, co můžu udělat s 20-tou. Použiji Excel a smažu všechno tohle. V podstatě jsem mohl použit jen myš místo ukazovátka, abych to všechno vyčistil. OK, vyberu si náhodný bod. Jen chci... plus 1,15 na 20tou a můžete použít kalkulačku. 16,37. Tohle se rovná 50 krát 16,37. Kolik to je 50 krát? Plus 50 krát to je 818 dolarů. Nyní jste si uvědomili, že pokud vám dá někdo půjčku a řeknou, půjčíme vám... potřebujete půjčku na 20 let? Půjčím vám za 15%. Je docela důležité si ujasnit, zda vám budou účtovat 15% jednoduchý nebo složený úrok. Protože se složeným úrokem, skončíte s tím, že budete platit... podívejte se na tohle. Jen za vypůjčení 50 dolarů budete platit 618 dolarů více než, pokud by to byl jednoduchý úrok. Naneštěstí v reálném světě je to většinou složený úrok. A nejenom že je složený, ale dokonce to neskládají každý rok, ani to neskládají každých 6 měsíců, ale v podstatě to skládají průběžně. A měli byste se podívat na následující videa o průběžném složeném úroku a potom se v podstatě začnete učit o kouzlu e (Eulerovo číslo). V každém případě nashle v příštím videu.
video