Radioaktivní rozpad
Radioaktivní rozpad (6/10) · 9:19

Úvod do exponenciálního rozpadu Použítí vzorce N=N0*e^(-k t).

Navazuje na Atomy a prvky.
Z předchozích videí už něco víme o poločasech rozpadu. Viděli jsme, že se hodí, pokud chceme zjistit, jaké množství látky nám zbude po jednom poločasu, nebo po 2 či 3 poločasech, Dělíme dvěma za každý poločas. Ale není to tak užitečné, pokud chceme zjistit, kolík látky zbylo po 1/2 poločasu, nebo po 1 dni nebo 10 sekundách, nebo 10 miliardách let. V předchozím videu jsem to ukázal pomocí trochu komplikovanější matematiky. A pokud ještě neznáte integrální počet, tak to video můžete přeskočit. Pro zvědavé - v tom videu jsme odvodili následující vzorec Pro jakýkoli bod v čase, pokud máte rozpadající se atom, nějaký prvek, můžeme ho popsat jako množství prvku v jakémkoli čase, které je rovno počátečnímu množství krát 'e' na nějakou konstantu, v minulém videu jsem použil lambdu, teď použiji 'k' -'k' krát 't'. Pak pro určitý prvek s daným poločasem rozpadu můžeme vypočítat 'k' a dále použít pro konkrétní příklad. Pojďme si to ukázat, aby všechny proměnné mohly být trochu konkrétnější. Napišme si obecný vzorec uhlíku. Uhlík-14, to je ten, u kterého známe poločas rozpadu. Víme, že uhlík-14 má poločas rozpadu 5730 let. Zkusme tuhle informaci nějakým způsobem použít v této rovnici. Říká nám to tedy, že po 1 poločase, tedy v čase 't' = 5730 je 'N(5730)' rovno množství na počátku. Tedy začali jsme s 'N0' krát 'e' na mínus, kdekoliv vidíme 't' napíšeme -5730, takže -'k' krát 5730. Tedy kolik let uplynulo. A poločas rozpadu nám říká, že po 5730 letech nám zbývá polovina počátečního množství. Takže polovina množství se již rozpadla. Pokud se pokusíme vyřešit tuto rovnici, co dostaneme pro 'k'? Vydělíme obě strany 'N0' Zbavíme se proměnné a zůstane tam jen 'e' na -5730 krát 'k', jen jsem je přehodil, se rovná 1/2. Pokud rovnici zlogaritmujeme, co dostaneme? Dostaneme, přirozený logaritmus z 'e' na 'něco' je pouze to 'něco'. Takže se -5730 krát 'k' rovná přirozenému logaritmu z 1/2. Na obou stranách rovnice jsem použil přirozený logaritmus na obou stranách. Vyjádříme-li 'k', vyjde nám, že se rovná přirozenému logaritmu z 1/2 děleno -5130 To jsme viděli v minulém videu. Ale pojďme si to vypočítat i tady, pro ty, co ho přeskočili. Takže, pokud máme 1/2, vezmeme přirozený logaritmus a potom to vydělíme 5730 s mínusem, dostaneme 1,2 krát 10 na -4. Výsledek je tedy 1,2 krát 10 na -4. Takže máme obecný vzorec pro uhlík-14, pokud známe jeho poločas rozpadu V jakémkoli čase po začátku, takže řekněme, že tohle bude pro uhlík-14, c-14, množství uhlíku-14, které zbude je rovno počátečnímu množství krát 'e' na -'k', to 'k', které jsme vypočetli. 1,2 krát 10 na -4 krát čas, který zatím uplynul. Toto je náš vzorec pro uhlík-14 Pokud to chceme pro nějaký jiný prvek, musíme použít jeho poločas rozpadu k vyjádření množství, které budeme mít v daném čase, a k výpočtu hodnoty 'k'. Pojďme zkusit vyřešit tento problém Řekněme, že začnu třeba s množstvím 300 g uhlíku, uhlíku-14. A rád bych věděl, kolik mi ho zbude, dejme tomu třeba po 2000 letech? Kolik budu mít? Stačí jen dosadit hodnoty do vzorečku. N(2000) je rovno počátečnímu množství, 300 gramů krát 'e' na -1,2 krát 10 na -4 krát 't', které je 2000. Kolik to je? Od minulého výpočtu už tu mám 1,2 krát 10 na -4. Takže řekněme krát 2000 se rovná, a samozřejmě, z tohoto nám vyjde záporné číslo, takže tady napíšu mínus. Máme tu záporné číslo. A já na něj umocním 'e' Výsledek je 0,241. Tomu se tedy rovná N(2000). Množství látky, které budu mít po 2000 letech je tedy 300 krát 'e' na -0,2419. Vidíme, že moje kalkulačka neumí umocnit 'e' Takže vezmu jen 'e'. Musím si pořídit lepší kalkulačku. Měl bych se vrátit k té vědecké. Ale napíšeme, že 'e' je řekněme 2,71 a mohl bych přidat další desetinná místa, ale stačí 2,71 umocněné na -0,24 a to se rovná 0,78, krát počáteční množství, tedy krát 300, což vychází 236 gramů. Zbude mi tedy 236 gramů. A přesně takhle, použitím tohoto vzorce na výpočet rozpadu jsem schopný zjistit, kolik mi zbude uhlíku v jakémkoli zvoleném čase, nejen v čase odpovídající poločasu. Pojďme zkusit ještě jeden příklad. Zkusíme jít jinou cestou. Řekněme, zamyslím se... Řekněme, že začnu s... 400 gramy uhlíku-14. A chci zjistit, chci vypočítat množství času, za jak dlouho budu mít 350 gramů uhlíku-14. Můžeme tedy říct, že konečné množství je 350 gramů. Je to rovno počátečnímu množství, tedy 400 gramům krát 'e' na -'k'. 'k' je -1,2 krát 10 na -4 krát čas. A chceme vypočítat čas. Jak ho vyjádříme? Můžeme vydělit obě strany 400. Kolik je 350 děleno 400? 350 děleno 400 je 7/8. Takže 0,875. Tedy 0.875 se rovná 'e' na -1,2 krát 10 na -4 krát 't'. Zlogaritmujeme obě strany. Dostaneme, že se přirozený log z 0,875 rovná, přirozený logaritmus z 'e' na 'něco' je právě to 'něco', takže se to rovná -1,5 krát 10 na -4 krát 't'. Pak 't' se rovná tomuhle vydělenému 1,2 krát 10 na -4. Takže přirozený log 0,875 děleno -1,2 krát 10 na -4 se rovná času, během kterého poklesne množství látky z 400 gramů na 350. Zvoní mi mobil, vypnu ho... ...na 350... Teď použiji trochu matematiky Máme číslo 0,875 a chceme jeho přirozený logaritmus. To pak vydělíme -1,2 exp -4, tedy krát 10 na -4. Celé je to záporné číslo. Já to nejdřív vydělím a potom vezmu zápornou hodnotu. Takže tomuhle se to rovná a já chci zápornou hodnotu Takže se to rovná 1112 rokům, než se dostaneme z 400 na 350 gramů mojí látky. Může se to zdát trochu komplikované, ale v podstatě jde jen o jednu věc a tou je zapamatování si vzorečku. Jeho odvození najdete v předchozím videu. Pro každý prvek můžeme zjistit hodnotu 'k'. Pak už jen dosadíme, co známe a dopočítáme, co neznáme. V příštím videu se tomu ještě budu věnovat.
video