Radioaktivní rozpad
Přihlásit se
Radioaktivní rozpad (5/10) · 12:22

Odvození rovnice pro exponencielní rozpad Odvození rovnice popisující radioaktivní rozpad pomocí řešení diferenciální rovnice.

Navazuje na Atomy a prvky.
Pojem poločas je užitečný, zabýváte-li se přírůstkem času, který je násobkem poločasu. Například v čase nula máme 100% naší látky. Když se čas rovná jednomu poločasu, máme 50% této látky. Když se čas rovná dvěma poločasům, máme látky 25% a tak dále. Pokud by uběhly tři poločasy rozpadu, u uhlíku by to bylo zhruba 15000 let, můžu zhruba říct, anebo skoro přesně, kolik procent původního prvku zbývá. V případě uhlíku C 14 bych mohl říct, kolik procent původního uhlíku C 14 se nerozpadlo na dusík. Na dusík N 14. Je to užitečné, ale co když mě zajímá, kolik uhlíku zůstane po půl roce nebo po polovině poločasu nebo po třech miliardách let nebo po deseti minutách? Co kdybych chtěl obecnou funkci? Obecnou funkci, jako funkci času, která udává počet nebo množství mé rozpadající se látky. Tím se budeme zabývat v tomto videu. Budeme potřebovat trošku matematiky, ale myslím, že vše bude jasné, obzvláště jestli jste už dělali diferenciální počet. Tady ho vlastně budete moct moc hezky využít. Trochu se zamysleme nad rychlostí přeměny nebo nad pravděpodobností, nebo také nad počtem částic, které se přemění za čas. Kdybychom měli, změnu počtu částic nebo jejich množství za velmi krátký čas. Na čem by závisela? Toto je počet částic, které máme v určitém čase. Toto udává, jak rychle se to množství mění. Víme, že rychlost změny se zmenšuje. Víme, že toto je záporné číslo. To platí pro radioaktivní rozpad. Mohli bychom to samé počítat pro exponenciální růst, pro který bychom tu neměli záporná čísla, na kterých by růst závisel. V našem případě bude rozpadající se množství úměrné záporné hodnotě množství sloučeniny na začátku. Trochu to vysvětlím. Snažím se říct, že množství rozpadů je úměrné množství látky, které máme. Aby to bylo trošku víc intuitivní, můžete si představit, že máte 1 krát 10 na devátou... Máte miliardu uhlíkových atomů. A řekněme, že tady máme 10 na šestou atomů uhlíku. Pokud je budeme určitou krátkou dobu pozorovat, například jednu sekundu. dt je nekonečně krátký čas, ale bude to určitá změna. Bude to delta t. Řekněme, že se za sekundu podíváme na tento vzorek, ve kterém se rozpadne třeba 1000 částic. U uhlíku by to tak ve skutečnosti nebylo, ale toto si uvádíme jen pro představu. Řekněme tedy, že po jedné vteřině tu máme 1000 částic. Tady máme jednu tisícinu předchozího počtu částic. Takže 1000 částic, které se za sekundu rozpadnou tady, by tady mělo odpovídat jedné rozpadlé částici za sekundu. Kvůli tomu, že je to menší množství. Nevím sice, kolik je přesně tato konstanta, ale vím, že u jakékoli látky tato konstanta závisí jen na druhu této látky. Uhlík bude mít jinou než uran, a také jinou než radon, na který jsem se dívali. Každý z nich tu bude mít jinou hodnotu. Můžeme si všimnout, a to budeme dělat v příštím videu, že tuto konstantu můžeme vypočítat z poločasu. Ale rychlost změny vždy bude záviset na množství částic, které máme. U poločasu jsme viděli, že když máme polovinu částic, rozpadne se jich o polovinu méně. Kdybychom tady začali se stem částic, měli bychom jich 50 a potom 25. Když začínáme s 50, ztratíme jich 25, zatímco když začneme se 100, ztratíme jich 50. A proto je jasné, že množství, které se rozpadne, závisí na množství, se kterým začínáme a to pro libovolnou změnu času a tady máme velmi krátký čas. To co tu zavádím je jednoduchá věc, spoustě lidí to tak ale nepřipadá, protože jde o diferenciální rovnici. Můžeme ji vyřešit použitím zřejmých technik. Jde vlastně o osamostatnění proměnné. Co tedy můžeme udělat? Vydělme obě strany množstvím N. Chceme dostat všechna N na tuto stranu a t na druhou. Máme 1 lomeno N, dN lomeno dt se rovná mínus lambda. Jen jsem vydělil obě strany N. A teď můžu vynásobit obě strany dt a dostanu 1 lomeno N dN se rovná mínus lambda dt. Teď můžu zintegrovat obě strany rovnice. A co dostanu? Co je opak derivace? Dělám neurčitý integrál, neboli opak derivace. Co je opakem derivace 1 lomeno N? Přirozený logaritmus N plus konstanta. Napíši to modře - plus konstanta. A to se rovná. Co je opak derivace konstanty? Konstanta krát proměnná. Integrujeme vzhledem k něčemu. Takže mínus lambda krát t plus konstanta. Jsou to různé konstanty, ale mají libovolnou hodnotu. Takže klidně můžeme odečíst jednu od druhé a dát je tak na jednu stranu. Tím získáme jinou konstantu. Zkrátíme tím diferenciální rovnici na přirozený logaritmus N se rovná minus lambda t plus naše konstanta, nazvěme ji třeba C3. Abychom teď z tohoto udělali funkci N s proměnnou t, převedeme rovnici na exponent e na obě strany rovnice. Je to inverzní operace k přirozenému logaritmu. Takže e na ln N. Ln N tu udává, na co umocnit e, abychom dostali N. Proto e umocněná na ln N je N. Musím jen umocnit obě strany rovnice. Umocňuji obě strany rovnice. e na ln N je N. A toto se rovná e na (mínus lambda krát t, plus C3). A to může být zapsáno jako N se rovná e na (mínus lamnda krát t) krát e na C3. A zase tu vychází nějaká konstanta, takže ji můžeme přejmenovat třeba na C4. Takže naše řešení diferenciální rovnice je: N jako funkce času se rovná C4 krát e na (mínus lambda t). Zkusme dále dosadit pro N v čase 0. Pro N v čase 0, máme N0 částic. To je množství, se kterým začínáme. Zkusme to dosadit do naší rovnice a zjistit hodnotu c4. Takže N(0) se rovná... Sem dosadíme 0. To se rovná N0. A rovná se to i C4 krát e na (mínus lambda krát 0). Cokoli záporného krát 0 je 0. Takže e na 0 je jednoduše 1. Takže C4 se rovná N0, což je množství na začátku. Takže jsme vlastně už získali výraz, vyjadřující počet částic nebo množství jako funkci času, která se rovná množství na začátku v čase 0 krát e na (mínus lambda krát čas). Musíme si jen dát pozor, jestli vždycky používáme časovou konstantu, když počítáme různě koeficienty. Všechno to vypadá tak abstraktně. Co to má společné s poločasem? Zkusme najít rovnici pro uhlík. Ta bude platit pro jakýkoli radioaktivní rozpad. Kdybychom tu měli plus, šlo by o exponenciální růst. Víme, že uhlík C 14 má poločas rozpadu 5700 let. Můžete to brát, jako že v čase 0 platí t=0. Zapíši to. Pokud N(0) se rovná můžeme napsat třeba 100. A proč ne. Pokud začneme s N(0) je sto. Potom N po 5700 letech... čas je v letech, musíte být důslední v jednotkách. Kolik nám tu zbude? Zbude 50. Mohli byste tu napsat x a x lomeno 2 a nakonec by to vyšlo stejně. Zkusme to teď použít v této rovnici a vypočítat lambdu. Víme, že N(0) je 100. Přímo můžeme napsat tuto rovnici jako N v čase t se rovná 100e na (mínus lambda krát t) pro náš případ. Zároveň víme, že N (5700), což je N v čase 5700, což je hodnota po uběhnutí jednoho poločasu. Takže máme polovinu z množství na začátku. Což je 50 a zároveň se to rovná tomuto na (-5700 krát lambda). Takže se to rovná 100 krát e na (-5700 krát lambda). Teď jen vyjádříme lambdu. Tím získáme obecnou rovnici udávající, kolik uhlíku zbývá v daném čase. Pokud vydělíte obě strany stem, co dostanete? Dostaneme 0,5, nebo taky jedna polovina, se rovná mínus 5700 lambda. Teď můžeme rovnici zlogaritmovat. Z toho dostaneme přirozený logaritmus 1/2 se rovná přirozenému logaritmu tohoto, takže mínus 5700 krát lambda. Když vyjádříme lambdu, dostaneme přirozený logaritmus 1/2 lomeno mínus 5700. Podívejme se, kolik to je. Takže přirozený logaritmus 1/2 je toto. A vydělením mínus 5700 dostáváme 1,2 krát 10 na mínus 4. Rovná se 1,21 krát 10 na mínus 4. Tady to je. Našli jsme rovnici pro lambdu. Takže obecná rovnice pro množství uhlíku C 14 v libovolném čase t, kde čas je v letech, je N (t) se rovná množství uhlíku na začátku krát e na (mínus lambda krát t). Mínus lambda je 1,21 krát 10 na mínus 4 v letech. Když teď dosadíte 1/2 roku a určíte si počáteční množství, můžu spočítat, kolik uhlíku po půl roce bude zbývat. Nebo třeba i po miliardě nebo po trilionu let. Další podobné příklady si ukážeme v dalším videu.
video