Přihlásit se

Limita - příklady (část 2) Pokračování příkladu: lim x->0 pro výraz 2x + 2)/(x + 1)

OK, doufám, že můj program už funguje. Jinak, řekli jsme že, když x je rovno mínus 0.001 tak se přibližujeme k 0 z leva f(x) je rovno mínus 1000, že? Na to přijdete sami, ne? A jak vidíte, jak se x přibližuje k 0 z leva, dostáváme větší a větší ..nebo bych měl řící menší a menší záporná čísla, že? Dostanete....pokud to bude mínus 0.0001, dostanete mínus 10 000, a pak mínus 100 000,a dále mínus 1 milión, více a více čím blíže k nule. Podobně když jdete z druhé strany, když řeknete kolik je... když x je 0.01, dostanete 100, že? Když x je ...zase se to zaseklo...když je 0.001, dostanete 1000. Takže ja vidíte, čím více se přibližujete 0 z leva (záporného směru), dostáváte vetší a větší záporné hodnoty, nebo tedy menší a menší záporné hodnoty. A pokud jdete z prava (kladného směru) dostanete větší a větší hodnoty. Načrtnu graf jen abych vám dal nápovědu, jak tento graf vypadá, protože tohle je graf, který je dobré znát jak obecně vypadá. Tak řekněme, že mám osu x. Tohle je osa y. Změním si barvu. Když x je záporné číslo a stává se opravdu velkým záporným čisle, jako když x je záporné nekonečno, blíží se k 0, ale stále to bude lehce záporné čislo. A pak jak vidíme z toho co kreslím, jak se přibližujeme, x je rovno 0, blížíme se k mínus nekonečnu, že? A podobně s kladnými čísly, pokud jdeme opravdu hodně dale, blížíme se k 0, ale stále bude kladná. A když se dostáváme blíže a blíže k 0, vyšplhá a jde ke kladnému nekonečnu. Nikdy nedostanete x=0. V téhle situaci máme x přibližující se... No dám vám k tomu jiný popis, který praděpodobně stejně uvidíte. Možná na tohle udělám zvláštní pezentaci. Limita x blížící se 0 z prava, Tak se to tady značí, 1 lomeno x , že? Tohle je když se x blíží k 0 z prava, no, je to rovno nekonečnu. A limita ... tohle pero,tohle pero.... Limita x blížící se k 0 z leva funkce 1 lomeno x. Tahle notace říká že se blížím z leva (záporné strany) A jak se přibližuji x je rovno 0 z tohoto směru, zo tohohle směru, co se stane? To se rovná mínus nekonečnu. Jelikož se přibližuji z každé strany jinak, není tahle limita ve skutečnosti definovaná. Mohli bychom řici, že z prava to je kladné nekonečno, nebo z leva to je záporné neonečno, ale museli by se rovnat aby tato limita byla definovaná. Takže toto není definované. Tak pojďme na další příklad, a myslím, že tohle by mělo být zajímavé. Řekněme, nechme si ten problém co jsme měli na paměti, Kolik je limita x blížící se k 0 funkce 1 lomeno x nadruhou? V téhle situaci vám nakreslím graf. Tohle je moje osa x. Tohle je moje osa y. Tady, nehleďe na to jaká hodnoty dáme za x, dostaneme kladnou hodnotu, že? Protože to budete umocňovat na druhou. Pokud dáme mínus...mohli byste... oh, já to udělám. Snad to bude poučné. Ještě jednou, očividně nemůžete jen dát x je rovno 0. Dostanete 1 lomeno 0, což není definováno. Ale řekněme 1 lomeno x na druhou. Čemu se to bude rovnat? Když x je 0.1 , na druhou to je 0.01, takže 1 lomeno x je 100. Podobně, když použijeme mínus 0.1, na druhouu to je kladná 0.01, takže 1 lomeno tohle je stále 100, že? Takže nehleďe na to jestli používáme kladná nebo záporná čísla dostaneme tu kladnou hodnotu. A podobně, pokud dám... když řekneme x je 0.01, když to vyhodnotíte dostanete 10 000 a pokud dáme mínus 0.01 dostanete 10 000 také, že?´ Protože jsme to umocnili na druhou. Takže tenhle graf, pokud jste to kreslili, nebo pokud máte grafickou kalkulačku, měli byste experimentovat, vypadá to přibližně takto. Vidím tu tmavě modrou. z leva se to přibližuje nekonečnu, že? To můžete vidět. A čím více máme menší ... jak se dostáváme blíže a blíže k 0 z leva, přibližujeme se k 0. A když jdem z prava...jsou ve skutečnosti symetrické, i když jsem to tak nenakreslil... také se to přibližuje nekonečnu. Takže tohle je případ, kdy limita ... ale tohle není moc jasné. Nevím jestli to vidíte... Limita x blížící se k 0 zleva funkce 1 lomeno x na druhou je rovna nekonečnu, a limitu x blížící se k 0 zprava funkce 1 lomeno x na druhou je také rovna nekonečnu. Takže když jdete z leva, je to rovno nekonečnu, že? Jde to do nekonečna když se blížíte k 0. A když jdete z prava, také to jde do nekonečna. A tak tahle limita je rovna nekonečnu. a to je proč jsem byl tak nadšený když jsem se začal učit limity. Protože poprvé, nekonečno je legitimní odpověď vašeho problému, což, já nevím, mě na nějaké metafyzikální úrovni docela nadchlo. Ale každopádně, udělám další příklady v další prezentaci, protože nikdy není dost příkladů na limity. A v pár dalších prezentacích vám dám formální, docela rigorózní matematickou definici limit.
video