Základy kinematiky
Základy kinematiky (14/19) · 7:09

Odvození maximální výšky, do které objekt vystoupá Odvození vzorce pro maximální dráhu objektu při vyhození kolmo vzhůru na základě času stráveného ve vzduchu.

Chci navázat na předchozí video, kdy jsme házeli míčky a viděli, jak dlouho zůstanou ve vzduchu. To jsme využili k výpočtu, jak rychle jsme ty míčky vyhodili a jak vysoko vystoupaly do vzduchu. V minulém videu jsme používali konkrétní čísla a v tomto videu bych se chtěl odvodit zajímavé vzorečky, abychom mohli dělat rychlé výpočty v hlavě, když si hrajeme na nějakém hřišti a nemusíme mít k dispozici papír. Takže řekněme, že míček je ve vzduchu po čas delta T. Delta T je čas strávený ve vzduchu. Potom víme, že čas stoupání bude polovina tohoto času, to samé platí pro čas klesání. Čas stoupání bude roven delta T... ...udělám to stejnou barvou... Bude roven času strávenému ve vzduchu děleno dvěma. Takže kolik je naše počáteční rychlost? No, vše, co potřebujeme, je vzpomenout si na rozdíl v rychlosti. Rozdíl v rychlosti, který je stejný jako počáteční rychlost minus konečná. Takže konečná rychlost... Mluvili jsme o polovině trasy míčku. Takže ve chvíli, kdy ho vypustíme, má nejvyšší rychlost. A potom se postupně zpomaluje, až je na chvíli nehybný, pak se vrací zpět dolů. Opět si vzpomeňte, že zrychlení míří celou dobu směrem dolů. Takže co je konečná rychlost, pokud uvažujeme jen polovinu času? No, rychlost zde je nula, takže to bude nula minus počáteční rychlost, počáteční rychlost, kdy jsme ho vypustili. Toto je rozdíl rychlostí. Ten se bude rovnat tíhovému zrychlení, minus 9,81 metru za sekundu na druhou, neboli zrychlení v důsledku gravitace pro volně padající objekt, abychom byli technicky přesní, krát čas, po který jde nahoru, takže krát delta T směrem nahoru, to je to samé jako... nebudu ani psát... Delta T směrem nahoru je to samé jako celková doba ve vzduchu děleno dvěma. A tak dostaneme, že záporně vzatá úvodní rychlost je rovna tomuto děleno dvěma, což bude 4,9 metrů za sekundu na druhou – na začátku máme stále minus – krát delta T. A pozor, zde je celkový čas ve vzduchu, ne jen čas stoupání, je to celkový čas ve vzduchu. A potom vynásobíme obě strany minusem a získáme počáteční rychlost, ta bude 4,9 metrů za sekundu na druhou krát celkový čas strávený ve vzduchu. Nebo bychom mohli říct, že je to polovina z 9,81 metrů za sekundu na druhou krát polovina času stráveného ve vzduchu, z obou formulací dostaneme to samé. Tak pojďme vypočítat celkovou vzdálenost neboli vzdálenost, kterou urazíme za polovinu času, maximální vzdálenost. Pamatujte, že vzdálenost – nebo bych měl v této situaci říkat dráha – dráha je rovna průměrné rychlosti krát změna času. Pro nás významná změna času je delta T děleno dvěma neboli polovina celkového času. To je náš čas směrem nahoru. Jaká je naše průměrná rychlost? Pokud předpokládáme, že je zrychlení konstantní, je to počáteční plus konečná rychlost děleno dvěma, průměr těchto rychlostí. Víme, jaká je naše úvodní rychlost, ta je zde. Naše konečná rychlost – o té jsme již mluvili. V první polovině času míček stoupá nahoru, takže konečná rychlost je nula. Bude to v okamžiku, kdy je míček na vrcholu, dělali jsme to přede dvěma videi, je to právě tento bod. Takže průměrná rychlost bude toto děleno dvěma. Takže to bude 4,9 metrů za sekundu na druhou krát delta T děleno dvěma. Takže toto je naše průměrná rychlost. Průměrná rychlost. Takže to dosaďme zpět, maximální dráha bude naše průměrná rychlost, tedy 4,9 metrů za sekundu na druhou krát delta T děleno dvěma. Poté to opět znásobíme celkovým časem děleno dvěma, je to to samé. A pak to můžeme zjednodušit. Maximální dráha je rovna 4,91 metrů za sekundu na druhou krát delta T na druhou, to celé děleno čtyřmi. Můžeme prostě vydělit 4,9 čtyřmi, to je 1,25, snad... Vytáhnu si kalkulačku. Nechci to spočítat z hlavy a pak dál dělat chyby. 4,9 děleno 4 je 1,225. Takže maximální dráha bude 1,225 krát celkový čas ve vzduchu na druhou, to je vcelku jednoduchý výpočet. Takže toto je maximální dráha, říká, jak daleko se dostaneme, když se míček nehýbe, když má nulovou celkovou rychlost, krátce předtím, než se začne zrychlovat směrem dolů. Takže pokud je míček ve vzduchu 5 sekund, můžeme ověřit náš výpočet z minula. Maximální dráha bude 1,225 krát pět na druhou, to je 25, dostaneme 30,625, to samé, co v minulém videu. Pokud je míček ve vzduchu po dobu, nevím, 2,3 sekundy, pak je to 1,225 krát 2,3 na druhou, pak se dostal 6,48 metrů do vzduchu. Chtěl jsem vám tedy jen dát jednoduchý vzorec, k výpočtu maximální vzdálenosti od země při zanedbání odporu vzduchu jako funkci celkového času ve vzduchu. A mně to přijde docela fajn, je to zajímavá hra.
video