Pohyb ve dvou rozměrech
Pohyb ve dvou rozměrech (3/9) · 5:50

Optimální úhel projektilu, 1. čast Rozložení vektoru rychlosti do složek

Navazuje na Základy kinematiky.
Řekněme, že vystřelíme do vzduchu nějaký objekt pod určitým úhlem. Velikost rychlosti bude „s“ a úhel, pod kterým ho vystřelíme, úhel nad horizontálou, bude théta – θ. V tomto videu chci vypočítat, jak daleko tento objekt doletí, a to v závislosti na úhlu a v závislosti na velikosti rychlosti, ale tu považujme za zadanou. Je tedy konstantou. Máme tedy zemi a chceme zjistit, jak daleko doletí. Jak si asi představíš, jeho dráha bude parabolická a nakonec přistane někdy tady. Pokud zde máme vzdálenost 0, mohli bychom tuto vzdálenost nazvat „d“. Kdykoli řešíš nějaký takovýto příklad, kdy něco vystřelíš pod určitým úhlem, nejvhodnějším prvním krokem je rozebrat si tento vektor na složky. Pamatuj, že vektor je něco, co má velikost a směr. Velikost je „s“. Možná metry za sekundu nebo kilometry za hodinu. Tento směr je θ. Pokud máš velikost „s“ a úhel θ, máš vektor. Nejprve si rozlož tento vektor do vertikální a horizontální složky a ty pak vyřeš zvlášť. Jednu k určení doby strávené ve vzduchu. Díky druhé zjistíš, jak daleko objekt vlastně doletí. Tady udělám velkou verzi tohoto vektoru. Ještě jednou, velikost tohoto vektoru je „s“. Můžeš si představit, že délka této šipky je „s“. Tento úhel tady je θ. Abychom ho rozložili do horizontální a vertikální složky, doplníme si ho na pravoúhlý trojúhelník a využijeme základních vzorců trigonometrie. Takže se do toho pustím. Tady máme zemi. Můžu spustit svislou čáru z konce této šipky, abych vytvořil pravoúhlý trojúhelník. Velikost vertikální složky rychlosti bude tato délka. Toto bude… Můžeš si představit, že tato délka bude vertikální složka rychlosti. Toto je vertikální složka rychlosti. Možná ji označím indexem „vertikální“. Tady bude délka této strany trojúhelníku. Udělám to jinou barvou. Délka této strany trojúhelníku bude horizontální rychlostí, neboli složkou vektoru rychlosti ve vodorovném směru. Používám pojem vektor rychlosti, když udávám rychlost a její směr. Velikost rychlosti je velikost vektoru rychlosti. Velikost této strany bude „horizontální rychlost“. K výpočtu musíš použít základní trigonometrické vzorečky. Máš pravý úhel. Toto je přepona. Napíšeme si, jak jsou definovány funkce sinus, kosinus a tangens. Sinus je protilehlá odvěsna děleno přeponou, kosinus je přilehlá odvěsna děleno přeponou a tangens je protilehlá děleno přilehlou odvěsnou. Podívejme se na to. Předpokládáme, že známe θ a délku „s“, chceme zjistit, jaká je vertikální a horizontální složka. Jaká bude vertikální složka? Vertikální složka je naproti úhlu θ. Víme, že přepona má délku „s“, můžeme tedy použít funkci sinus, neboť ta používá protilehlou odvěsnu a přeponu. Funkce sinus nám říká, že sinus úhlu θ… Vlastně to udělám zelenou, neboť všechno vertikální děláme zeleně. Sinus θ se rovná protilehlé odvěsně, která je vertikální složkou rychlosti, takže této protilehlé odvěsně, děleno přeponou. Přepona je velikost rychlosti „s“. Chceme-li tedy získat vertikální rychlost, neboli vertikální složku rychlosti, vynásobíme obě strany rovnice „s“. Získáš „s“ krát sinus θ se rovná vertikální složce rychlosti. „s“ krát sinus θ. Pro horizontální složku uděláme to samé, ale už nepoužijeme funkci sinus. Nyní je to odvěsna přilehlá k úhlu. S přilehlou odvěsnou a přeponou pracuje funkce kosinus. Můžeme říci, že kosinus théta je roven odvěsně přilehlé k úhlu, to je horizontální složka rychlosti, děleno přeponou. Přepona je tato délka, tedy děleno „s“. Pokud chceme získat horizontální rychlost, neboli její horizontální složku, tedy velikost její horizontální složky, prostě vynásobíme obě strany rychlostí „s“. Získáš „s“ krát kosinus θ se rovná horizontální složce. Nyní víme, jak rychle se pohybujeme v tomto směru, v horizontální složce. Víme, že toto bude „s“ krát kosinus θ. Víme, že ve vertikální směru, nakreslím ho tu, je velikost „s“ krát sinus θ. Je to „s“ krát sinus θ. Rozložili jsme vektor do dvou složek a jsme připraveni zjistit, jak dlouho zůstane objekt ve vzduchu.
video