Pohyb ve dvou rozměrech
Pohyb ve dvou rozměrech (6/9) · 9:48

Vizuální pochopení vzorce pro výpočet dostředivého zrychlení Jak pochopit vztah dostředivého zrychlení, rychlosti a poloměru?

Navazuje na Základy kinematiky.
Řekněme, že mám objekt, který cestuje po takovéto kruhové dráze. A zde jsem nakreslil jeho vektor rychlosti v různých bodech podél této cesty. Tady bude vektor rychlosti ‚v1‘. A zde bude vektor rychlosti ‚v2‘. Zde bude vektor rychlosti ‚v3‘. Budeme předpokládat, že velikost vektorů rychlosti je konstantní neboli že rychlost je konstantní. Malá písmena ‚v‘ bez šipky nahoře jsou skalární veličiny, nazveme to rychlostí. Také to můžeme nazvat velikost těchto vektorů. Je konstantní, takže se rovná velikosti vektoru 1, který se rovná velikosti vektoru 2 – směr se jasně mění, ale velikost bude stejná –, a toto se rovná velikosti vektoru 3. Předpokládejme, že cestujeme po kruhu s poloměrem ‚r‘. Budu kreslit pozice vektoru v každém bodě. Zde je polohový vektor ‚r1‘. Zde je polohový vektor ‚r2‘. Takže pozice se jasně mění. Toto je polohový vektor ‚r2‘. A zde je polohový vektor ‚r3‘. Velikost všech polohových vektorů je stejná, tedy nazvu to velikostí polohových vektorů ‚r‘. To je právě poloměr kruhu, ta vzdálenost tady. Tedy r se rovná velikosti polohového vektoru r1, který se rovná velikosti polohového vektoru r2, který je rovný velikosti polohového vektoru r3. V tomto videu vám chci graficky dokázat, že když máme poloměr ‚r‘ a velikost rychlosti ‚v‘, tak velikost dostředivého zrychlení… Napíši to jako ‚a‘ s ‚c‘ v dolním indexu. Nemám šipku nahoře, takže toto je skalární veličina. Velikost dostředivého zrychlení se rovná rychlost na druhou děleno poloměrem kruhu. Chci, abyste se po zhlédnutí tohoto videa tohoto vztahu nebáli. Abychom to pochopili, tak tyto vektory rychlosti nakreslím na jiném kruhu a zamyslíme se, jak se tyto vektory mění. Zkopírujeme a vložíme vektor ‚v1‘. Toto je vektor ‚v1‘. To samé udělám s vektorem ‚v2‘, zkopírovat a vložit. Stejně to udělám i pro vektor ‚v3‘. Takže to zkopíruji a vložím. Tohle je vektor ‚v3‘. Trochu to tady vyčistím. Takže tohle je vektor ‚v2‘, nemyslím si, že ho musíme znova značit. Vektor ‚v2‘ je v oranžové barvě. Jaký je poloměr tohoto kruhu? Poloměr tohoto kruhu bude roven velikosti vektorů rychlosti. A my už víme, že velikost vektorů rychlosti je toto ‚v‘. Skalární veličina. Takže poloměr toho kruhu je ‚v‘, Poloměr tohoto kruhu, jak už víte, je roven ‚r‘. A stejně jako nám vektor rychlosti dává změnu polohy vektoru v čase, tak jaký vektor nám dá změnu vektoru rychlosti v čase? Bude to vektor zrychlení. Takže budeme mít vektory zrychlení ‚a1‘, ‚a2‘ a ‚a3‘. A chci se ujistit, že chápete tuto analogii. Jak se pohybujeme kolem kruhu, ukazuje polohový vektor nejprve nalevo, pak nahoru v pozici zhruba 11 hodin a pak na vrchol. Ukazuje na tato různá místa, jako ručička u hodinek. A to, co se přemísťuje podél, je změna vektoru vzdálenosti v čase, to jsou tyto vektory rychlosti. Tady se vektory rychlosti pohybují jako ručičky na hodinkách. A to, co jimi pohybuje, jsou tyto vektory zrychlení. A tyto vektory rychlosti jsou tečnami k poloměru. Pardon, jsou tečnami ke kružnici a jsou kolmé k poloměru. V geometrii zjistíte, že tečna ke kružnici je kolmá k poloměru. A to se děje i tady. A když si teď vzpomeneme, co jsme se dozvěděli o dostředivém zrychlení, když se podíváte na tento vektor ‚a1‘ a přenesete ho sem, tak bude směřovat ke středu. Vektor ‚a2‘ ukazuje opět směrem ke středu. Vektor ‚a3‘, pokud si ho přeneseme, bude ukazovat také směrem ke středu. Takže všechny z nich vlastně míří do středu, tady to vidíte. Jsou to vlastně vektory dostředivého zrychlení. Mluvíme tu jen o velikosti. A budeme předpokládat, že mají stejné velikosti, budeme předpokládat, že naše vektory dostředivého zrychlení mají velikost, kterou nazýváme ‚a‘ s ‚c‘ v dolním indexu. To je tedy velikost. Je rovna velikosti vektoru ‚a1‘, velikosti vektoru ‚a2‘ a velikosti vektoru ‚a3‘. Nyní chci analyzovat, jak dlouho trvá dostat se z tohoto bodu na kružnici do tohoto bodu. Způsob, jak o tom přemýšlet, je zjistit délku oblouku, který jsme urazili. Délka tohoto oblouku je 1/4 celého kruhu, bude to 1/4 obvodu. Obvod je 2 krát pí krát r, toto bude jedna čtvrtina. Toto je délka oblouku. A jak dlouho to bude trvat? Podělíme délku cesty rychlostí, která objekt pohání, takže to chceme podělit velikostí rychlosti. Toto je velikost rychlosti, ne vektor rychlosti. Není to vektor, je to skalár. Takže to bude čas, po který se pohybujeme po této cestě. Čas, za který projdeme tuto cestu, bude přesně stejný jako ten, který nám zabere tato cesta pro vektor rychlosti. Tak cestuje polohový vektor a takto cestuje vektor rychlosti. Takže to bude to samé ‚T‘. Jaká je délka této cesty? Podívejme se na to z hlediska geometrie. Tohle je kruh s poloměrem ‚v‘. Takže délka této cesty bude 1/4... Udělám to tou samou barvou. Délka bude rovna 1/4 krát obvod tohoto kruhu. Obvod tohoto kruhu je 2 pí krát jeho poloměr, což je ‚v‘. Jak se to teda pohybuje podél kruhu? Co je zde analogií k rychlosti? Rychlost to rozpohybovává. Je to velikost vektoru rychlosti. Takže po tomto oblouku se pohybujeme díky velikostí vektoru zrychlení. Tedy to bude ‚a_c‘. A tyto dvě věci se rovnají. Čas, kdy se pohybuje polohový vektor, je stejný jako čas pohybu vektoru rychlosti. Takže toto můžeme dát do rovnosti. Na této straně dostaneme: 1/4 krát 2 (pí) r děleno v je rovno 1/4 krát 2 krát pí krát v, děleno velikostí vektoru zrychlení. Můžeme to trochu zjednodušit. Můžeme vydělit obě strany 1/4, tím se zbavíme tohoto. Můžeme vydělit obě strany dvěma pí, a zbavíme se tohoto. Napíši to znovu. Takže pak dostaneme r děleno v je rovno v děleno a_c. A teď můžete násobit křížem. Takže dostanete ‚v‘ krát ‚v‘. Jen to obojí vynásobím ‚v‘. V na druhou se rovná a_c krát r. Násobení křížem je to samé, jako když násobíme obě strany oběma jmenovateli. Vynásobení obou stran ‚v‘ a ‚a_c‘, takže to není žádná magie. Pokud vynásobíme obě strany ‚v‘ a ‚a_c‘, tak se tyto ‚v‘ zkrátí, ‚a_c‘ se zkrátí. A dostaneme: v na druhou se rovná a_c krát r. A abychom zjistili velikost našeho dostředivého zrychlení, stačí vydělit obě strany ‚r‘. A zbude nám… A nyní si zasloužíme potlesk. Velikost dostředivého zrychlení se rovná konstantní velikosti naší rychlosti dělené poloměrem kružnice. A jsme hotovi.
video