Pohyb ve dvou rozměrech
Pohyb ve dvou rozměrech (6/9) · 9:48

Vizuální pochopení vzorce pro výpočet dostředivého zrychlení Jak pochopit vztah dostředivého zrychlení, rychlosti a poloměru?

Navazuje na Základy kinematiky.
Řekněme, že mám objekt, který cestuje po takové kruhové dráze. Zde jsem nakreslil jeho vektor rychlosti v různých bodech podél této cesty. Tady bude vektor rychlosti „v1“. Zde bude vektor rychlosti „v2“. Zde bude vektor rychlosti „v3“. Budeme předpokládat konstantní velikost vektorů rychlosti. Malá písmena „v“ bez šipky nahoře jsou skalární veličiny, nazvěme je velikosti rychlostí. Také to můžeme nazvat velikost těchto vektorů. Je konstantní, rovná se tedy velikosti vektoru „v1“, který se zároveň rovná velikosti vektoru „v2“… Směr se zřejmě mění, ale velikost bude stejná. … a to se také rovná velikosti vektoru „v3“. Předpokládejme, že cestujeme po kruhu s poloměrem „r“. Budu kreslit polohové vektory v každém bodě. Zde je polohový vektor „r1“. Tady je polohový vektor „r2“. Poloha se zcela jasně mění. Toto je polohový vektor „r2“. Zde je polohový vektor „r3“. Velikost všech polohových vektorů je stejná, nazvu to tedy velikostí polohových vektorů „r“. To je právě poloměr kružnice, tato vzdálenost tady. „r“ se tedy rovná velikosti polohového vektoru „r1“, jež se rovná velikosti polohového vektoru „r2“, jež je roven velikosti polohového vektoru „r3“. V tomto videu bych chtěl graficky dokázat, že máme-li poloměr „r“ a velikost rychlosti „v“, tak velikost dostředivého zrychlení… Napíši to jako „a“ s dolním indexem „c“. Nemám nahoře šipku, je to tedy skalární veličina. Velikost dostředivého zrychlení se rovná rychlost na druhou děleno poloměrem kruhu. Chci, aby ses po shlédnutí tohoto videa tohoto vztahu nebál. Abychom to pochopili, tak tyto vektory rychlosti nakreslím na jiné kružnici a zamyslíme se, jak se tyto vektory mění. Zkopírujeme a vložíme vektor „v1“. Toto je vektor „v1“. To samé udělám s vektorem „v2“, zkopírovat a vložit. Stejně to udělám i pro vektor „v3“. Zkopíruji to tedy a vložím. Toto je vektor „v3“. Trochu to tu vyčistím. Toto je tedy vektor „v2“, nemyslím si, že ho musíme znovu značit. Vektor „v2“ je oranžově. Jaký je poloměr této kružnice? Poloměr této kružnice je roven velikosti vektorů rychlosti. Už víme, že velikost vektorů rychlosti je toto „v“. Skalární veličina. Poloměr kružnice je tedy „v“. Poloměr této kružnice, jak už víš, je roven „r“. Stejně jako vektor rychlosti dává změnu polohy vektoru v čase, jaký vektor dá změnu vektoru rychlosti v čase? Bude to vektor zrychlení. Budeme tedy mít vektory zrychlení „a1“, „a2“ a „a3“. Chci se ujistit, že chápeš tuto analogii. Jak se pohybujeme po kružnici, ukazuje polohový vektor nejprve vlevo, pak nahoru v pozici přibližně 11 hodin a nakonec na vrchol. Ukazuje na tato různá místa, jako ručička u hodinek. To, co se přemísťuje podél, je změna polohového vektoru v čase, to jsou tyto vektory rychlosti. Tady se vektory rychlosti pohybují jako ručičky na hodinkách. To, co jimi pohybuje, jsou tyto vektory zrychlení. Tyto vektory rychlosti jsou tečnami k poloměru. Omlouvám se, jsou tečnami ke kružnici a jsou kolmé k poloměru. V geometrii zjistíš, že tečna ke kružnici je kolmá k poloměru. To se děje i tady. Když si teď vzpomeneme, co jsme se dozvěděli o dostředivém zrychlení, když se podíváš na tento vektor „a1“ a přeneseš ho sem, tak bude směřovat ke středu. Vektor „a2“ ukazuje opět směrem ke středu. Vektor „a3“, pokud si ho přeneseme, bude ukazovat také směrem ke středu. Všechny tedy míří do středu, tady to vidíš. Jsou to vektory dostředivého zrychlení. Mluvíme tu jen o velikosti. Budeme předpokládat, že mají stejné velikosti, budeme předpokládat, že vektory dostředivého zrychlení mají velikost, jež nazveme „a s dolním indexem c“. To je tedy velikost. Je rovna velikosti vektoru „a1“, velikosti vektoru „a2“ a velikosti vektoru „a3“. Nyní chci analyzovat, jak dlouho trvá dostat se z tohoto bodu na kružnici do tohoto bodu. Způsob, jak o tom přemýšlet, je zjistit délku oblouku, kterou těleso urazilo. Délka tohoto oblouku je čtvrtina kružnice, bude to tedy 1/4 obvodu. Obvod je 2 krát π krát „r“, toto bude jedna čtvrtina. Toto je délka oblouku. Jak dlouho to bude trvat? Podělíme délku cesty rychlostí, která objekt pohání, chceme to tedy vydělit velikostí rychlosti. Je to velikost rychlosti, ne vektor rychlosti. Není to vektor, je to skalár. To bude tedy čas, po který se pohybujeme po této cestě. Čas, za který projdeme tuto cestu, bude přesně stejný jako ten, který zabere tato cesta pro vektor rychlosti. Tak cestuje polohový vektor a takto cestuje vektor rychlosti. Bude to tedy stejné jako „T“. Jaká je délka této cesty? Podívejme se na to z hlediska geometrie. Toto je kružnice s poloměrem „v“. Délka této cesty bude tedy 1/4... Udělám to stejnou barvou. Délka bude rovna 1/4 krát obvod této kružnice. Obvod této kružnice je 2π krát jeho poloměr, což je „v“. Jak se to tedy pohybuje podél kružnice? Co je zde analogií k rychlosti? Rychlost to rozpohybuje. Je to velikost vektoru rychlosti. Po tomto oblouku se tedy pohybujeme díky velikosti vektoru zrychlení. Bude to tedy „a s indexem c“. Tyto dvě věci se rovnají. Čas, kdy se pohybuje polohový vektor, je stejný jako čas pohybu vektoru rychlosti. Můžeme to tedy dát do rovnosti. Na této straně dostaneme: 1/4 krát „2πr“ děleno „v“ je rovno 1/4 krát 2 krát π krát v, děleno velikostí vektoru zrychlení. Můžeme to trochu zjednodušit. Můžeme vydělit obě strany 1/4, tím se zbavíme tohoto. Můžeme vydělit obě strany 2π, a zbavíme se tohoto. Napíši to znovu. Pak dostaneme „r“ děleno „v“ je rovno „v“ děleno „a s indexem c“. Teď můžeš násobit křížem. Dostaneš „v“ krát „v“. Jen obojí vynásobím „v“. „v na druhou“ se rovná „a s indexem c“ krát „r“. Násobení křížem je násobení obou stran oběma jmenovateli. Násobení obou stran „v“ a „a s indexem c“, není to žádná magie. Vynásobíme-li obě strany „v“ a „a s indexem c“, tak se tyto „v“ zkrátí, „a s indexem c“ se zkrátí. Dostaneme: „v na druhou“ se rovná „a s indexem c“ krát „r“. Abychom zjistili velikost dostředivého zrychlení, stačí vydělit obě strany „r“. Zbyde… Nyní si zasloužíme potlesk. Velikost dostředivého zrychlení se rovná konstantní velikosti rychlosti dělené poloměrem kružnice. Jsme hotovi.
video