Pohyb ve dvou rozměrech
Pohyb ve dvou rozměrech (14/15) · 10:31

Příklad s pohybem joja po kruhové dráze Příklad na určení dostředivé síly, kterou musí působit provázek na jojo, které se otáčí po kruhové dráze.

Navazuje na Základy kinematiky.
Lidé mají s úlohami na dostředivou sílu mnohem více problémů než s běžnými silami, měli bychom si tedy projít ještě několik příkladů a poukázat při tom na běžné omyly, kterých se lidé dopouštějí. Začněme klasickým příkladem. Máš jojo, které roztočíš ve svislém směru. Tomuto triku se říká „kolem světa“ („around the world“) pokud si ho najdeš na YouTube, vypadá dost dobře. Vyšvihnou ho nahoru, letí nahoru, a potom padá dolů. Opíše svislou kružnici, ne vodorovnou. Neotáčíme tímto jojem po vodorovné ploše. Stoupá do vzduchu a pak zase klesá. Pro naše účely stačí vědět, že jde o něco na provázku. Hmotnost joja je asi 0,25 kilogramů. Délka provázku je asi 0,5 metrů. Nejvyšší rychlost míčku jsou nějaké 4 metry za sekundu. To, co chceš jako výrobce joja znát, je maximální tahová síla, kterou provázek vydrží, jaká je jeho pevnost v tahu. Pokusme se tedy vymyslet, jaká tahová síla působí na provázek v nejvyšším bodě dráhy joja při rychlosti 4 metry za sekundu? Kdykoli hledáš sílu, prvním krokem je nakreslit silový diagram. Udělejme to. Jaké síly působí na toto jojo? Jsme-li v blízkosti zemského povrchu, bude směrem dolů působit tíhová síla. Velikost tíhové síly bude „m“ krát „g“, kde „g“ je +9,8. „g“ označuje velikost tíhového zrychlení a celý výraz je velikost tíhové síly. Je tu však další síla. Provázek je upevněn k hmotě, může jej tedy táhnout. Provázky táhnou, působí tahovou silou. Kterým směrem tahová síla působí? Spousta lidí kreslí tahovou sílu směrem vzhůru a to není správně. Provazy netlačí. Pokud mi nevěříš, sežeň si provaz. Zatlač jím na něco. Dojde ti, že tlačit jím nejde, táhnout však ano. To provaz zvládne. Provaz bude táhnout. Jak moc? To nevím, to teprve zjistíme. Toto bude tahová síla, označíme ji velkým „T“. Mohli jsme použít „F s indexem T“. Jsou různé způsoby jak tah označit, ať už ho označíš jakkoli, bude směřovat do středu kružnice, neboť provaz táhne za hmotu. Po nakreslení diagramu většinou určíš sílu pomocí Newtonova druhého zákona. Jako vždy použijeme tento vzorec v každém směru, jednom po druhém. Tedy svisle, vodorovně, dostředivě, v jednom směru po druhém, abychom si zjednodušili výpočty. Máme úlohu na dostředivou sílu, máme těleso pohybující se po kružnici a zjišťujeme sílu směřující do středu kružnice. Použijeme Newtonův druhý zákon na dostředivý směr. Použijeme dostředivé zrychlení a celkovou dostředivou sílu. Napíšeme, že dostředivé zrychlení se rovná celkové dostředivé síle, která působí na hmotu opisující kružnici. Vybrali jsme dostředivý směr, můžeme tedy nahradit dostředivé zrychlení odpovídajícím vzorcem. Dostředivé zrychlení je vždy rovno „v na druhou“ lomeno „r“, druhé mocnině rychlosti tělesa dělené poloměrem kružnice, po které se pohybuje. Položíme to rovno celkové dostředivé síle dělené hmotností. Teď přijde nejtěžší část, kde se často chybuje: Co dosadíme do dostředivé síly? Musíme se rozhodnout, co je dostředivou silou, a dosadit se správnými znaménky. Podívejme, jaké síly působí na těleso. Je tu tahová síla a tíhová síla. Když se lidé snaží zjistit co dosadit, začnou se pídit všude možně. Ne, ty máš silový diagram. Podívej se na něj. V silovém diagramu jsou všechny informace o silách, co máme, pokud je správně nakresleny. My ho máme správně. Máme tu všechny síly, projdeme si je tedy jednu po druhé. Měli bychom do našich výpočtů zahrnout tíhovou sílu? Měli bychom, neboť počítáme se všemi dostředivými silami, a dostředivé je jen slovo označující věci směřující do středu. Tato tíhová síla opravdu směřuje do středu kružnice. Zahrneme ji tedy mezi dostředivé síly. Jinak řečeno přispívá dostředivé síle. Je to jedna ze sil, která způsobuje kruhový pohyb míčku, přidáme ji tedy do vzorce. Velikost tíhové síly je „m“ krát „g“. Bude kladná, nebo záporná? Hodně lidí chce říct, že je záporná, neboť míří dolů. Jenže při dostředivém pohybu je směr dovnitř kladný a nemusí při tom být zároveň nahoru. Pokud míří dovnitř, je kladný. Když jsme tady dole, je kladný směr vzhůru. Tady nahoře je však kladný směr dolů, neboť směřuje do středu kružnice. Tady by byl kladný směr šikmo doleva a nahoru, protože síla mířící do středu kružnice bude mít kladné znaménko a je pro to dobrý důvod. Důvod, proč je směr do středu kladný, je, že i naše dostředivé zrychlení je kladné. Jelikož dostředivé zrychlení míří do středu kružnice, pokud je dostředivé zrychlení kladné, musí být cokoli směřujícího do středu také kladné. Mohli jsme rozhodnout, že kladný bude směr ven z kruhu, pokud bychom to však udělali, dostředivé zrychlení by skončilo záporné, a to je divné. To by nikdo neudělal. Směr dovnitř kruhu je tedy kladný. Tím pádem je dostředivé zrychlení kladné a s ním každá síla směřující do kruhu. Proto se tato tíhová síla bude počítat jako kladná dostředivá síla, protože míří dovnitř do kruhu. Pokračujeme dále. Máme tu další sílu. Máme tahovou sílu. Započítáme ji sem? Ano, započítáme, neboť míří do středu kružnice. Bude kladná, nebo záporná? Jelikož také míří do středu kružnice, přidáme ji jako kladnou dostředivou sílu. Je také jednou ze sil, které způsobují pohyb tělesa po kružnici. Celková dostředivá síla se tedy v tomto případě skládá z tahové a tíhové síly. Chceme-li teď vypočítat tahovou sílu, použijeme nějakou algebru. Vynásobíme obě strany hmotností. Pak od obou stran odečteme „mg“ a zbyde, že tahová síla se rovná „m“ krát „v na druhou“ lomeno „r“ minus „m“ krát „g“. Dosadíme-li čísla, vyjde nám, že tahová síla na provázek je 5,55 newtonů. To se dalo čekat. Odečetli jsme velikost tíhové síly od této celkové dostředivé síly, tento člen tedy odpovídá celkové velikosti dostředivé síly, kterou potřebujeme, aby se toto jojo pohybovalo po kružnici. Velikost tahu je ta síla minus tíhová síla. Důvodem je, že tíhová síla a tahová síla tvoří dostředivou sílu dohromady. Žádná z nich se k celkové dostředivé síle nepřidává. Obě dohromady dávají dostředivou sílu a díky tomu tahová síla není tak velká, jak by mohla být. Zvážíme-li však případ, kdy se jojo dostane do spodního bodu své dráhy, silový diagram bude vypadat jinak. Tíhová síla stále míří dolů. Tíhová síla míří vždy dolů. Její velikost je vždy rovna „m“ krát „g“. Tentokrát se však tahová síla nasčítá, neboť provázek táhne těleso. Provazy pouze táhnou. Provazy nikdy netlačí, tento provaz tedy stále táhne hmotu joja do středu této kružnice. Dosadíme-li nyní sem, jedna z těchto sil bude záporná. Předtím byly obě kladné, neboť obě mířily do středu kružnice. Teď do středu kružnice míří jen jedna a vidíme, že jde o tahovou sílu. Tahová síla působí do středu kružnice. Tíhová síla působí od středu kružnice. Tahová síla tedy zůstává kladnou silou, tíhová síla je však v tomto případě zápornou dostředivou silou, neboť míří směrem od středu kružnice. Kdybychom tedy počítali tahovou sílu v tomto spodním bodě dráhy, levá strana rovnice by byla stále „v na druhou“ lomeno „r“, neboť jde stále o dostředivé zrychlení. Hmotnost vespodu bude stále „m“, neboť je to hmotnost rotujícího joja. Nicmně místo „T“ plus „mg“ budeme mít „T“ minus „mg“, neboť tíha směřuje od středu kružnice. Pokud z této rovnice vypočítáme tahovou sílu na provázek, vyjde, že se rovná… Vynásobéme obě strany „m“ a k oběma přičteme „mg“. Vyjde, že tahová síla je rovna („m“ krát „v na druhou“ děleno „r“) plus „mg“. Tentokrát k výrazu přičítáme „mg“, kdežto tady jsme to odečítali. To dává smysl, neboť tu tahová a tíhová síla spolupracovaly, aby vytvořily dostředivou sílu, a žádná z nich nemusela být tak velká, jako by byla za jiných okolností. Tady dole nejenže tíhová síla tahové nepomáhá, tíhová síla dokonce škodí, neboť táhne těleso ven z kruhu. Chudák tahová síla v tomto případě musí nejen pokrýt dostředivou sílu, musí být ještě větší než celková dostředivá síla, aby vyrušila záporné účinky tíhové síly. Pokud bychom dosadili čísla, tahová síla by vyšla mnohem větší. Vyšel by stejný vzorec jako tu, jen namísto odečítání tíhové síly ji přičítáme. Vyjde, že tahová síla je 10,45 newtonů. Opakování: Řešíme-li úlohy na dostředivou sílu, většinou doleva napíšeme „v na druhou“ lomeno „r“ jako kladnou hodnotu zrychlení a tím vybereme směr do kruhu jako kladný, neboť to je směr, kterým míří dostředivé zrychlení, všechy síly stejného směru tedy rovněž musí být kladné. Musíš být opatrný, protože pak mohou být síly mířící dolů kladné, dokud je směr dolů zároveň směrem do středu kružnice. Je-li síla kladná v jedné části pohybu, jako když tíhová síla byla kladná na vrcholu dráhy, tak to neznamenalo, že ta samá síla bude stále kladná v jiné části pohybu.
video