Hybnost
Přihlásit se
Hybnost (6/7) · 9:24

Vztah mezi úhlovou rychlostí a rychlostí Jak úhlová rychlost souvisí s celkovou rychlostí

Navazuje na Práci a energii.
Mějme objekt, který se pohybuje po kružnici. Nechť toto je střed kružnice, takže objekt se pohybuje po kruhové trajektorii, která vypadá nějak takto. Proti směru hodinových ručiček, stejně tak by se objekt mohl pohybovat po směru. Zamysleme se nad tím, jak rychle se objekt pohybuje, jak rychle obíhá okolo středu. A jak toto obíhání souvisí s jeho rychlostí. Řekněme, že tento objekt zde oběhne pětkrát dokola za jednu sekundu. Tedy za 1 sekundu 1, 2, 3, 4, 5. Každou sekundu udělá 5 oběhů. Jak tuto skutečnost vztáhneme k počtu radiánů za sekundu? Vzpomeňme si, že radiány jsou jedním ze způsobů, jak měřit úhly. Můžeme je také měřit ve stupních. Jestliže měříme ve stupních, tak jeden oběh je 360 stupňů. Jestliže máme radiány, tak víme, že každý oběh je 2pí radiánů. Jedna celá kružnice tedy znamená 2pí radiánů, bez ohledu poloměr kružnice a z toho vlastně vychází definice radiánu. Tedy jestliže objekt udělá 5 oběhů za sekundu a jeden oběh je 2pí radiánů, pak můžeme provést rozměrovou analýzu. Tyto se zkrátí a dostáváme 5 krát 2pí, což je 10pí radiánů za sekundu. A toto souhlasí s rozměrovou analýzou a také to intuitivně dává smysl. Jestliže oběhnete 5 krát za sekundu kolem dokola, každý takový oběh je 2pí radiánů, pak uběhnete dohromady 10 radiánů za sekundu. Běžíte 1, 2, 3, 4, 5. Nebo 2pí, 2pí, 2pí, 2pí, 2pí radiánů během každého oběhu, neboli 10 krát za sekundu. Tedy 10 radiánů za sekundu. Tedy toto zde, buď 5 oběhů za sekundu nebo 10pí radiánů za sekundu, oba výrazy měří vlastně tu samou věc: jak rychle obíhá objekt okolo tohoto středu. Tato veličina měřící rychlost obíhání po kružnici se nazývá úhlová rychlost. Nazývá se úhlová rychlost právě proto, že nám říká, jak rychle se mění náš úhel oběhu neboli je to rychlost změny úhlu. Pokud máme dvourozměrný problém, a toto je typické pro problémy ve fyzice, přestože se veličina nazývá úhlová rychlost, tak máme sklon s ní jednat jako se skalárem. Ve skutečnosti je to vektor a je těžší intuitivně pochopit, že tento vektor ve skutečnosti míří z obrazovky ven. Vlastně je to pseudo-vektor, o tom si více povíme někdy v budoucnu. Tedy máme vektorovou veličinu a směr toto vektoru závisí na směru oběhu. Například když obíháme proti směru hodinových ručiček, tak vektor úhlové rychlosti míří ven z obrazovky. Přemýšlejme nyní o problému ve třech dimenzích. Jestliže se pohybujeme ve směru hodinových ručiček, tak vektor úhlové rychlosti míří dovnitř do obrazovky. Použijeme pravidlo pravé ruky. Pokud stočíte své prsty na pravé ruce ve směru oběhu objektu, potom váš palec míří ve směru vektoru rychlosti. Příliš se tímto nebudeme zabývat. K našim účelům, protože máme dvourozměrný problém, rovinný problém, můžeme o tomto vektoru přemýšlet jako o pseudo-skaláru, což je oficiální označení. Ale musíme také k této skalární veličině přidat směr, kterým se objekt pohybuje. V našem případě je naše úhlová rychlost 10 radiánů za sekundu. Označuje se většinou malou omegou. Velké omega vypadá takto. Existuje tedy několik způsobů, jak o tom přemýšlet. Můžeme říci, že úhlová rychlost je rovna změně úhlu za jednotku času. Například, toto nám říká, 10 radiánů za sekundu. Nebo jestliže chcete, okamžitá úhlová rychlost je derivace úhlu podle času. Jak se mění úhel v závislosti na čase. Takže toto jsme zvládli a nyní se zaměříme na rychlost. Jaký má naše odvození vztah k okamžité rychlosti objektu? Abychom dostali rychlost objektu, tak musíme přemýšlet o tom, jakou dráhu objekt urazí během každého oběhu. Můžeme si to odvodit zde. Řekněme, že tento poloměr je ‚r‘. Tedy během každého oběhu objekt urazí dráhu 2rpí. Řekněme, že ‚r‘ je v metrech. Napíšeme sem metry. Obvod kružnice je 2rpí metrů. Úhlová rychlost je rovna omega radiánů za sekundu. A kolik oběhů je to za jednu sekundu? Můžeme se vrátit zpět k tomu, co jsme dělali zde. Jeden oběh je roven 2pí radiánů. Pro upřesnění, občas je úhlová rychlost vyjádřena jako počet oběhů za sekundu, ale jednotka v SI jsou radiány za sekundu. Proto chci převést omega z radiánů za sekundu na počet oběhů za sekundu. Radiány se mi vyruší. Dostáváme omega děleno 2pí oběhů za sekundu. Víme, kolik jeden oběh měří metrů. Je to 2rpí metrů na jeden oběh. Toto si zkopírujeme a vložíme. Jestliže chceme vyjádřit počet oběhů za jednu sekundu, tak naše úhlová rychlost bude omega děleno 2pí oběhů za sekundu. Omega je v radiánech za sekundu. Omega lomeno 2pí oběhů za sekundu. A nyní toto vynásobíme, abychom to převedli na metry za sekundu. Kolik metrů objekt urazí za jeden oběh? Objekt urazí celý obvod kružnice za jeden oběh, tedy 2rpí metrů za oběh. Tyto dvě veličiny se vyruší, 2pí se vyruší s 2pí. Takže dostáváme omega krát r metrů za sekundu. A máme velikost rychlosti neboli můžeme říci, že jsme dostali rychlost objektu obíhajícího po kružnici. Takže můžeme říci, kolik je velikost rychlosti. Specifikujme si ‚v‘, abychom si rozuměli. Toto není vektorová veličina. Není to rychlost. Je to velikost rychlosti. Velikost rychlosti je rovna omega krát r. Velikost rychlosti je rovna úhlové rychlosti krát poloměr r. Velikosti úhlové rychlosti krát poloměr. Nerad bych vás zmátl. Neříkám, že toto je vektorová veličina. Pokud by to byl vektor, označil bych ho šipkou. A kdyby toto byl vektor, umístil bych šipku zde. Znamenalo by to, že tato veličina míří ven z obrazovky. Ale zde mluvíme pouze o velikosti úhlové rychlosti, proto vyjádřeno slovy, rychlost je rovna úhlové rychlosti, přesněji velikosti úhlové rychlosti krát poloměr kružnice, po které objekt obíhá. Pokud chcete vyjádřit úhlovou rychlosti, tak vydělíte obě strany poloměrem a dostanete úhlovou rychlost. Omega je rovna rychlosti, kterou označujeme ‚v‘, děleno poloměr. Tuto informaci využijeme k tomu, abychom si později odvodili zajímavé věci. Doufám, že vám video pomohlo pochopit, jaký mají tyto veličiny spolu vztah.
video