Kmitavý pohyb
Přihlásit se
Kmitavý pohyb (3/3) · 9:44

Harmonický pohyb bez diferenciálního počtu Odvozování periody, frekvence a amplitudy harmonického kmitavého pohybu pro závaží připevněné na pružině.

Navazuje na Sílu a Newtonovy zákony.
Vítejte zpět. Pokud jste si zakryli oči, abyste neviděli diferenciální počet, myslím, že oči můžete opět otevřít. Moc diferenciálního počtu by v tomto videu být nemělo. Jen pro přehled zopakujeme, co jsme se naučili. Máme pružinu nakreslenou vertikálně... ale předstírejme, že zde není gravitace, nebo předstírejme, že se díváme na horní plochu stolu, protože nechceme studovat efekt pružiny a gravitace. Pouze samostatnou pružinu. Mohlo by to být někde ve vesmíru. Ale nepřemýšlíme o gravitaci. Nakreslil jsem to vertikálně, abychom získali lepší představu o této křivce. Na začátku jsme řekli, jestliže mám pružinu a 0... x rovno 0 je rovnovážný stav pružiny, když nechám toto závaží... ...když za pružinu vůbec nezatáhnu. Ale mám závaží připevněné na pružinu, a kdybych napnul pružinu do bodu A, co se stane? Začne to jen s malou rychlostí, neboť je tam pouze síla pružnosti, která závaží potáhne zpět do této pozice. Ona síla bude závaží zrychlovat a zrychlovat, až se to dostane sem. A tady to bude mít velkou rychlost, ale potom to začne zpomalovat. A potom to bude zpomalovat, až se jeho rychlost zastaví a závaží se vrátí zpět. A kdybychom to nakreslili, jako funkci času, stane se toto. Začne se to pohybovat a zrychlovat velmi pomalu. V tomto bodě, kde ‚x‛ se rovná 0, to má svou maximální rychlost. Rychlost změny rychlosti...nebo rychlost změny pozice je nejrychlejší. A vidíme, že směrnice je tady velmi strmá. A potom znovu začneme zpomalovat, než se dostaneme zpět do bodu A. A potom budeme pokračovat nahoru a dolů, nahoru a dolů...takto. Dokázali jsme, že rovnice pro pozici závaží, jako funkce času je x(t)... a použili jsme trochu diferenciálních počtů, abychom to dokázali. Ale tato rovnice...ne, že bych vám doporučoval, abyste si ji pamatovali... ale je to docela užitečná rovnice k zapamatování. Protože to můžete použít, abyste vyřešili v podstatě cokoli, co se týká pozice závaží v daném čase nebo frekvenci tohoto kmitavého pobybu nebo cokoli jiného. Když znáte diferenciální počet, můžete zjistit rychlost předmětu v jakýkoli čas. A to je docela elegantní. Takže co můžeme udělat teď? Pojďme najít periodu tohoto kmitajícího systému. Však víte...vím, že všechno zde značím harmonickým pohybem... ...toto je jednoduchý harmonický pohyb. Jednoduchý harmonický pohyb je něco, co lze popsat trigonometrickou funkcí, jako je tato. A ono to prostě kmitá sem a tam, sem a tam. To co zde děláme, je harmonický pohyb. A teď se pojďme podívat, jaká je perioda. Vzpomeňte si, že po ‚T‛ sekundách se závaží dostane do své původní pozice a potom po dalších ‚T‛ sekundách se opět vrátí do své původní pozice. Pojďme si spočítat toto ‚T‛. A to je vlastně perioda. Co je to perioda funkce? Je to doba, za kterou se dostanete do své původní pozice. Nebo jak dlouho trvá, aby celá fáze proběhla jednou. Takže co je toto ‚T‛? Dám vám otázku. Jaké jsou všechny body... ...toto je funkce kosinus. V jakých všech bodech se kosinus rovná 1? Nebo, aby tato funkce byla rovna A? Protože kdykoli je kosinus roven 1, celá tato funkce se rovná A. A to jsou tyto body. Kosinus je roven 1, když...takže theta... ...kdy je kosinus theta roven 1? V jakých úhlech je toto pravda? Je to pravda, když je theta rovna 0. Kosinus 0 je 1. Kosinus 2 pi je také 1. Mohli bychom se držet jednotkového kruhu. Podívejte se na video o jednotkovém kruhu, jestliže to nechápete. Nebo o znázornění trigonometrické funkce graficky. Je to také pravda ve 4 pi. Vlastně je to pravda ve všech násobcích 2 pi. Kosinus tohoto úhlu je roven 1. Stejná věc je pravda. Tato funkce x(t) je rovna A... ...v jakých bodech? x(t) je rovno A, když tento výraz...uvnitř kosinu... ....kdykoli je tento výraz roven 0; 2 pi; 4 pi a tak dále. A když to poprvé jde cyklicky od 0 do 2 pi... ...od 0 do T, tak to bude přesně ve 2 pi. Celý tento výraz se bude rovnat A, když ‚k‛...a to jsou tyto body. Když je tato funkce rovna A. Stane se to znovu někde tady. Když je tento vnitřní výraz roven 2 pi nebo jakémukoli násobku 2 pi. Takže bychom mohli říci, že x(t) je rovno A, když je druhá odmocnina (k lomeno m) krát t rovna 2 pi. Nebo to můžeme spočítat tak, že vynásobíte obě strany rovnice obrácenou druhou odmocninou (k lomeno m). A dostanete, že ‚t‛ se rovná 2 pi krát druhá odmocnina... ...a to bude opak tohoto... ...m lomeno k... A tady mám periodu této funkce. Toto se bude rovnat 2 pi krát druhá odmocnina (m děleno k). Když vám někdo řekne... ...mám pružinu, kterou natáhnu... ...natáhnu ji, nebo ji trochu stlačím a pak ji pustím...jaká je perioda? Jak dlouho trvá, než se pružina vrátí zpátky do své původní pozice? Bude to pokračovat, protože nemáme žádné tření, žádnou gravitaci nebo odpor vzduchu apod. Odpor vzduchu je jen druh tření. Můžete ihned...když si zapamatujete tento vzorec, i když byste měli vědět, odkud pochází... můžete ihned říci, že víte, jaká je perioda. Perioda je 2pi krát (m děleno k). To je doba, jakou pružina potřebuje, aby se vrátila zpět... ...aby dokončila jednu fázi. A co frekvence? Kdybyste chtěli vědět počet fází za sekundu, tak je to jen obrácená perioda. Kdybych chtěl vědět frekvenci, tak je to rovno 1 lomeno periodou. Perioda je dána v sekundách za jednu fázi. Takže frekvence je počet fází za sekundu a toto je v sekundách za jednu fázi. Frekvence je jen 1 děleno tímto. Což je 1 lomeno 2 pi krát druhá odmocnina (k lomeno m). To je frekvence. Ale vždycky jsem měl problém si to všechno zapamatovat. Vždycky k lomeno m a m lomeno k a tak. Všechno co si potřebujete zapamatovat, je toto. A i díky tomu, můžete tušit, proč je to pravda. Můžete použít diferenciální počet, kdybyste si to chtěli dokázat. Protože pokud máte toto, můžete zodpovědět jakoukoli otázku, ohledně pozice závaží v jakémkoli čase, rychlosti závaží v jakémkoli čase, jen tím, že výraz zderivujete. Nebo periodu nebo frekvenci funkce. Když víte, jak zjistit periodu a frekvenci trigonometrických funkcí. Můžete se podívat na moje trigonometrická videa, abyste si to osvěžili. Jedna věc, která je docela zajímavá, je... ...všimněte si, že frekvence a perioda... Toto je perioda funkce, tj. jak dlouho trvá jedna fáze. Toto je počet fází za jednu sekundu... ...a obě jsou nezávislé na A. Nezáleží na tom, můžu to natáhnout jen trochu, třeba takto a bude to trvat stejně dlouho, aby se to vrátilo zpět, a bude se to vracet stejně, i kdybych to natáhnul hodně. Kdybych to natáhnul jen trochu, funkce by vypadala takto. Musím se ujistit, že to dělám správně. Toto nedělám správně. Upravit, zpátky. Kdybych to natáhnul jen trochu, amplituda bude menší, ale ta funkce bude v podstatě stejná. Udělá to toto. Doba k dokončení fáze bude stejná, jen amplituda bude menší. To mi přijde zajímavé. Ať to natáhnu jak chci, nebude to trvat více nebo méně času, aby to dokončilo jednu fázi. To je zajímavé. Když jsem vám řekl, že mám předměty stlačené. V tomto případě, řekněme, že moje A je -3. Mám koeficient tuhosti... ...řekněme, že ‚k‛ je třeba 10. A mám závaží o hmotnosti 2 kilogramy. Potom vám mohu ihned říci, jaká je rovnice pozice, jako funkce času v kterémkoli bodě. Bude to rovno x(t)...dochází mi místo... ...x(t) bude rovno...je to jen jednoduchá substituce...-3 kosinus (10 děleno 2). ...k lomeno m je 5... Takže druhá odmocnina z 5t. Vím, že je to těžké přečíst, ale chápete to. Jen jsem využil substituci. Ale ta důležitá věc, kterou byste měli vědět, je toto... ...myslím, že je to ta nejdůležitější věc... ...když máte trigonometrickou funkci a máte problém si vzpomenout, jak zjistit periodu nebo frekvenci... ...ačkoliv vždycky přemýšlím, kdy je tento výraz roven 1? A potom můžete zjistit...kdy se to rovná 1, nebo kdy se to rovná 0... a tím můžete zjistit periodu. Když to nemáte, můžete si zapamatovat tento výraz pro periodu a tento výraz pro frekvenci, ale myslím, že je to zbytečné plýtvání vaší mozkové kapacity. Na viděnou v dalším videu.
video