Kmitavý pohyb
Přihlásit se
Kmitavý pohyb (1/3) · 10:04

Úvod do harmonického pohybu Pochopení pohybu závaží na pružině (s trochou diferenciálních počtu ke konci).

Navazuje na Sílu a Newtonovy zákony.
Pojďme se podívat, jak využít naše znalosti o pružinách, abychom pochopili, jak se pružina pohybuje v čase. A naučíme se něco o harmonickém pohybu. Vlastně i vstoupíme do světa diferenciálních rovnic. A nenechte se zastrašit, až se tam dostaneme. Nebo jen zavřete oči, až se to stane. Nakreslil jsem pružinu, stejně jako v několika posledních videích. A 0, tento bod na ose x, je rovnovážný stav pružiny. A v tomto příkladu mám závaží o hmotnosti ‚m‛, připevněné na pružinu. A pružinu jsem napnul. V podstatě jsem ji natáhl, takže závaží se teď nachází v bodě A. Co se teď stane? Jak víme síla pružnosti se rovná minus koeficient tuhosti (tuhost) krát poloha x. Poloha ‚x‛ začíná v bodě A. Takže nejprve se pružina pohne zpět tímto směrem. Pružina se pohne zpět tímto směrem. A bude se pohybovat rychleji a rychleji a rychleji. Zjistili jsme, že v tomto bodě má mnoho potenciální energie. V tomto bodě, kdy se pružina vrací do své rovnovážné polohy, bude mít velkou rychlost a hodně kinetické energie, ale velmi málo potenciální energie. Ale hybnost jí udrží v pohybu a ona se úplně stlačí, než se všechna kinetická energie promění zpět v potenciální energii. A pak se děj bude opakovat. Podívejme se, zda můžeme pochopit, jak se ‚x‛ mění v závislosti na čase. Náš cíl je vyjádřit x(t) ...‚x‛ jako funkci času. To bude náš cíl v tomto videu a asi i v dalších několika. Pojďmě se nejdříve podívat, co se tady děje. Nejdříve se pokusím nakreslit ‚x‛, jako funkci času. Čas je nezávislá proměnná. A začnu v čase rovném 0. Toto je časová osa. Namaluji osu x. Toto je pro vás asi trochu nezvyklé, abych maloval osu x na vertikále, ale to kvůli tomu, že ‚x‛ je v této situaci závislá proměnná. Toto je osa x, velmi nezvykle. Nebo bychom mohli říci x(t), jen abyste věděli, že ‚x‛ je funkce času. A tento stav, co jsem namaloval tady, toto je v čase rovno 0. Takže toto je v 0. ...Vyměním si barvy... V čase rovném 0, jaká je pozice ‚x‛ závaží? Pozice ‚x‛ je A. Když to namaluji, tak toto je A. Ještě namaluji čáru tady. Mohla by se hodit. Toto je A. A toto bude...pokusím se... ...toto je záporné A. To je -A. Takže v čase ‚t‛ rovno 0, kde je? V bodě A. Tady v grafu. Raději se pojďme podívat na něco zajímavějšího. Definujme periodu. Periodu označím velkým ‚T‛. Řekněme, že perioda je čas, za který se závaží pohne z tohoto místa. Bude zrychlovat, zrychlovat, zrychlovat, zrychlovat. Bude opravdu rychlé v tomto bodě, jen s kinetickou energií. A potom bude zpomalovat, zpomalovat, zpomalovat. A potom se tento děj bude opakovat cestou zpět. Řekněme, že ‚T‛ je množství času, za který se uskuteční celý tento děj. V čase 0 je to v bodě A a potom také víme, že v čase ‚T‛... ...Toto je čas ‚T‛... to bude také v bodě A. Snažím se nakreslit pár bodů této funkce, které znám a pak se podívat, jestli budu umět vyjádřit tuto funkci analyticky. Jestliže trvá cesta tam a zpět ‚T‛ sekund, trvá to ‚T lomeno 2‛ sekundy, než se to dostane sem. Množství času potřebného k tomu dostat se sem, je stejné, jako jeho množství na cestu zpět. ‚T lomeno 2‛...jaká je pozice ‚x‛? V ‚T lomeno 2‛, závaží bude tady. Bude stlačené až sem. Takže v ‚T lomeno 2‛ bude závaží zde. A potom mezi body, to bude v ‚x‛ rovno 0. Bude to tady a tady. Doufám, že to dává smysl. Teď známe tyto body. Ale pojďme se zamyslet, jak vypadá vlastní funkce. Bude to jen přímá čára dolů, potom přímá čára nahoru a potom přímá čára dolů a potom přímá čára nahoru. To by znamenalo...zamyslete se nad tím... ...když máte přímou čáru dolů celou dobu, znamenalo by to, že máte stálou rychlost změny hodnoty ‚x‛. Nebo také můžeme říci, že máme konstantní rychlost. Máme konstantní rychlost po celou dobu? Ne. Víme, že přesně v tomto bodě máte velmi vysokou rychlost. Máte velmi vysokou rychlost. Víme, že v tomto bodě máte velmi nízkou rychlost, takže zrychlujete celou dobu. A čím více se nad tím zamyslíte, vlastně zrychlujete s klesající rychlostí. Ale zrychlujete celou dobu. A potom zrychlujete a pak zpomalujete celou tuto dobu. Vaše skutečná rychlost změny ‚x‛ není konstantní, tudíž nebudete mít cikcak vzor. A budu pokračovat sem a potom budete mít bod tady. Co se děje? Když začnete, pohybujete se velmi pomalu. Změna ‚x‛ je velmi pomalá. A potom začnete zrychlovat. A potom, až se dostanete k tomuto bodu, začnete zpomalovat. Až do tohoto bodu. Vaše rychlost je zde přesně 0. Takže vaše rychlost změny, neboli sklon, bude 0. A potom začnete zrychlovat zpět. Vaše rychlost bude vyšší a vyšší. Bude opravdu vysoká v tomto bodě. A potom začnete zpomalovat do tohoto bodu. V tomto bodě, čemu odpovídá? Jste zpět v A. Takže v tomto bodě bude rychlost znovu 0. Takže rychlost změny ‚x‛ je 0. A teď začnete zrychlovat. Sklon roste, roste, roste. Toto je bod s největší kinetickou energií, přesně tady. Potom vaše rychlost začne zpomalovat. A všimněte si tady, sklon v těchto bodech je 0. V těchto bodech nemáte žádnou kinetickou energie. A to se pořád opakuje. Dokola a dokola a dokola. Jak to vypadá? Ještě jsem vám to nedokázal, ale ze všech funkcí, které znám, mi toto hodně připomíná trigonometrické funkce. A kdybych si měl jednu vybrat, vyberu kosinus. Proč? Protože, když je kosinus 0... ...napíši to zde...kosinus 0 se rovná 1. Když ‚t‛ je rovno 0, tato funkce se rovná A. Takže tato funkce vypadá, jako A kosinus... ...a použiji zde proměnnou omega t... tato funkce vypadá, jako něco takového. A za chvilku se naučíme, že tohle vypadá přesně takto. Ale chci vám to dokázat, takže mi zatím nevěřte. Pojďme se podívat, jak vyřešit, co je omega. A je to pravděpodobně funkce hmotnosti tohoto předmětu a asi i funkce koeficientu tuhosti, ale nejsem si jistý. Tak se pojďme podívat, co můžeme vyřešit. A teď zamířím do diferenciálních počtů. Trochu decentních diferenciálních počtů. A vlastně potkáme i diferenciální rovnice. Možná první diferenciální rovnice, kterou uvidíte ve svém životě, což je důležitá událost. Ale pojďme se pohnout vpřed. Zavřete oči, jestli nechcete být zmateni nebo se podívejte na videa diferenciálních počtů, abyste věděli, co je derivace. Pojďme napsat tuto zdánlivě jednoduchou rovnici nebo ji pojďme přepsat tak, abychom jí pochopili. Jak je definována síla? Síla je hmotnost krát zrychlení. Můžeme přepsat Hookeův zákon, jako... ...vyměním si barvy... ...hmotnost krát zrychlení je rovno minus koeficient tuhosti krát poloha. Napíši polohu, jako funkci ‚t‛, jen abyste si to zapamatovali. Jsme tak zvyklí, že ‚x‛ je nezávislá proměnná, že by bylo zmatečné, nenapsat to jako funkci ‚t‛. Řekli byste...„Oh myslel jsem, že ‚x‛ je nezávislá proměnná." NE. Protože v této funkci, kterou si chceme vyjádřit, chceme vědět, co se stane v závislosti na čase. Toto je vlastně i dobré opakování parametrických rovnic. A teď se dostáváme do diferenciálních počtů. Co je zrychlení? Jestliže nazvu svou polohu ‚x‛... moje poloha se rovná (x)t. Dosadím nějaký čas, což mi řekne, jaká je hodnota ‚x‛. To je moje poloha. Co je moje rychlost? Moje rychlost je derivace tohoto. Moje rychlost, v jakémkoli bodě, bude derivací této funkce. Změna rychlosti této funkce v závislosti na ‚t‛. Takže se podívám na změnu rychosti v závislosti na ‚t‛...x(t). A mohu to napsat jako dx/dt. A co je zrychlení? Zrychlení je jen rychlost změny rychlosti. Takže je to, jako derivace tohoto. Nebo jinak, je to jako počítat druhou derivaci funkce polohy. V této situaci je zrychlení rovno... ...mohli bychom to napsat jako... ...jen vám ukazuji různé způsoby zápisu... ...x čárka čárka t, druhá derivace ‚x‛ v závislosti na ‚t‛. Nebo...toto jsou jen zápisy... ...d na druhou x děleno dt na druhou. Toto je druhá derivace. Vypadá to, že mi dochází čas. Na viděnou v dalším videu. A zapamatujte si, co jsem právě napsal.
video