Kmitavý pohyb
Přihlásit se
Kmitavý pohyb (2/3) · 9:46

Harmonický pohyb: popis pomocí diferenciálního počtu Zkusíme, jestli Acos(ωt) může popsat pohyb závaží na pružině pomocí substituce do diferenciální rovnice F=-kx.

Navazuje na Sílu a Newtonovy zákony.
V předchozím videu jsem přepsal rovnici pružiny. Napsal jsem, že síla je hmotnost krát zrychlení. A říkal jsem, že pokud je ‚x‛ funkcí ‚t‛, co je zrychlení? Rychlost je derivace ‚x‛ vzhledem k času. Změna polohy dělená změnou v čase. A zrychlení je derivací rychlosti nebo také druhou derivací polohy. Takže můžeme vzít dvojitou derivaci x(t). Takže pojďme přepsat tuto rovnici s použitím těchto pojmů. Všechno toto vymažu... ...toto všechno si chci nechat, abychom si zapamatovali, o čem jsme tu celou dobu mluvili. Pokusím se to vymazat úhledně. To je docela dobré. A vymažu toto všechno. Všechno. Vymažu i toto. To je docela dobré. Zpět do práce. Takže víme...nebo doufám, že víme... ...že zrychlení je druhá derivace x, jako funkce času t. Můžeme to tedy přepsat, jako hmotnost krát druhá derivace x. Takže to napíši, jako...myslím, že bude nejjednodušší napsat x se dvěma čárkami. To je druhá derivace ‚x‛ jako funkce ‚t‛. Napíši i zápis funkce, abyste si zapamatovali, že toto je funkce času. To je rovno -k krát x(t). A co tu vidíme, co jsem právě napsal, je diferenciální rovnice. A co je diferenciální rovnice? Je to rovnice, kde v jednom výrazu nebo jedné rovnici, na obou stranách máte nejen funkci, ale i derivaci té funkce. A řešení diferenciální rovnice není jen číslo. Řešení rovnic, kterými jsme se doteď zabývali, byly čísla, nebo skupina čísel, nebo možná přímka. Ale řešením diferenciální rovnice bude funkce, nebo třída funkcí, nebo množina funkcí. Asi bude chvíli trvat, než to pochopíte, ale toto je asi nejlepší příklad, na kterém to pochopit. A tuto diferenciální rovnici nebudeme řešit analyticky. Použijeme naší intuici, kterou jsme získali v předchozím videu. Použijeme to, abychom odhadli řešení této diferenciální rovnice. A potom, pokud to bude fungovat, budeme to o něco lépe chápat. A budeme znát polohu tohoto závaží připevněného na pružině, v jakémkoli čase. To je vzrušující. Toto je diferenciální rovnice. Když jsme nakreslili polohu...naše intuice pro polohu v závislosti na čase... ...naše intuice nám řekne, že je to funkce kosinus s amplitudou A. Řekli jsme, že je to A kosinus (omega t), kde je toto úhlová rychlost... ...ale o tom teď ještě mluvit nechci, více to pochopíme za chvíli. A teď můžeme zkusit otestovat tento výraz...tuto funkci... ...abychom zjistili, jestli je to řešením této rovnice. Když řekneme, že x(t) je rovno A kosinus (omega t), co je derivací tohoto? x čárka t. Můžete se podívat na video o derivacích, abyste si na to vzpomněli. Je to derivace vnitřní funkce, takže to bude omega krát venkovní skalár. A omega. A potom derivace ...jen používám řetízkové pravidlo... derivace kosinus t je znaménko minus krát to, co je uvnitř. Napíši minus ven. Takže je to znaménko minus....(omega t). A jestliže chceme druhou derivaci... ...je to x čárka čárka t. Napíši to jinou barvou, aby to nebylo takové monotónní. Toto je derivace tohoto. Co je derivace... ...toto jsou jen skaláry. Jsou to jen konstanty. Takže derivace vnitřní části je omega. Vynásobím omegu skalární konstantou. Dostanu -A (omega na druhou). A potom derivace sinus je kosinus. Ale minus je zde pořád, protože jsem s ním začínal. Minus kosinus (omega t). Pojďme se podívat, jestli je to pravda. Jestli je toto pravda, můžu říci, že m krát druhá derivace x(t), což v tomto případě je toto, krát -A (omega na druhou) kosinus (omega t). To by mělo být rovno -k krát má původní funkce...krát x(t). A x(t) je A kosinus (omega t). A kosinus...dochází mi místo...(wt). Doufám, že chápete, co říkám. Jen jsem nahradil x čárka čárka, druhou derivaci do tohoto. A dosadil jsem x(t), které jsem tady odhadl, sem. A teď mám toto. Pokusím se to přepsat. Možná se můžu zbavit té pružiny tady. Snažím se najít místo... ...nechci vymazat toto, protože to slouží k pochopení toho, na čem pracujeme. Jeden z těch dní, kdy bych si přál mít větší tabuli. Vymažu pružinu. Doufám, že si zapamatujete tento obrázek. A můžu vymazat toto. Všechno tohle. Abych měl místo, aniž bych musel vymazat křivku, kterou jsem kreslil v posledním videu. Téměř hotovo. Zpět do práce. Ještě se ujistit, že moje tužka je správně. Vše co jsem udělal...vzal jsem... řekli jsme, že s koeficientem tuhosti... Když přepíšete sílu jako hmotnost krát zrychlení, dostanete toto, což je v podstatě diferenciální rovnice... jen jsem přepsal zrychlení jako druhou derivaci. Potom jsem hádal, že toto je x(t), jen podle pohledu na náš obrázek. Odhadl jsem to a potom jsem vzal druhou derivaci... toto je první derivace a toto druhá derivace. Dosadil jsem druhou derivaci zde a substitucí jsem nahradil i tuto funkci. A toto jsem dostal. Pokusím se to trochu zjednodušit. Když to přepíši, získám -mA (w na druhou) kosinus (wt) se rovná -kA kosinus (wt) Zatím to vypadá dobře... můžeme se zbavit znamének minus na obou stranách ...zbavíme se minusu na obou stranách... zbavíme se A na obou stranách ...můžeme dělit obě strany A... použiji černou, abych to vymazal. Když se zbavíme A na obou stranách, zbyde nám toto. A potom, máme m (w na druhou) kosinus (omega t) se rovná k kosinus (omega t). Takže tato rovnice je pravdivá, když je pravdivé co? Tato rovnice platí, když m (w na druhou) ...to je omega na druhou...se rovná k. Nebo také můžeme říci, že omega na druhou se rovná k lomeno m nebo omega se rovná druhé odmocnině (k lomeno m). A tady to je...našli jsme co musí být x(t). Řekli jsme, že tato diferenciální rovnice je pravdivá, když je x(t) a omega rovno tomuto. Teď jsme zjistili celou funkci, která popisuje polohu pružiny v závislosti na čase. x(t) se bude rovnat... měli jsme pravdu s A a to je jen intuice, protože amplituda této funkce kosinus je A. A kosinus...a místo abychom psali w... mohu napsat odmocninu (k lomeno m). Druhá odmocnina (k lomeno m) krát t. Podle mě je tohle skvělé. Bez použití složitých diferenciálních počtů jsme vyřešili diferenciální rovnici. A když se mě zeptáte v 5,8 sekundách, kde je ‚x‛, budu vám umět odpovědět. Právě jsem si všiml, že mi dochází čas, takže na viděnou v dalším videu.
video