Tekutiny
Přihlásit se
Tekutiny (8/15) · 10:08

Bernoulliho rovnice, 1. část Začátek důkazu Bernoulliho rovnice.

Navazuje na Gravitaci.
Řekněme, že máme znovu trubici – toto je vstupní otvor – a máme tekutinu, která jí protéká. Tekutina proudí rychlostí v1, tlak u vstupu do trubice je p1 a plocha tohoto otvoru je A1. Pak trubice pokračuje, může třeba mířit nahoru a druhý konec může být třeba i menší. Řekněme, že tekutina opouští trubici rychlostí v2 a působí na výstupu nějakým tlakem, – kdyby byla na vnější straně membrána, tekutina by na ni působila tímto tlakem – to je tlak p2. A plocha tohoto menšího otvoru – ale nemusí být jen menší – bude A2. Řekněme, že tento otvor je v průměrné výšce h1 a že druhý otvor, tedy výstupní otvor, je v průměrné výšce h2. Nebudeme se tolik zabývat rozdílem mezi horní a dolní stěnou trubky, budeme předpokládat, že tyto h jsou mnohem větší v poměru k velikosti trubky. Tohle je tedy h2. S tímto uspořádáním – a pamatujte, že skrze trubku proudí tekutina –, takže s tímto uspořádáním se vraťme se k tomu, co tu stále ukazujeme, což je zákon o zachování energie, který platí v každém uzavřeném systému: Množství energie, které do něčeho vložíte, je rovno množství energie, které z toho dostanete. Takže vstupující energie je rovna vystupující energii. Jaká je tedy energie vložená do systému, pokud systém začíná na tomto konci? Je to práce, kterou vložíte, plus potenciální energie v tomto bodě systému plus kinetická energie v tomto bodě systému. A pak víme ze zachování energie, že to se musí rovnat výstupní práci plus výstupní potenciální energii plus výstupní kinetické energii. Již jsme mnohokrát řekli, že vstupní potenciální energie plus vstupní kinetická energie je rovna výstupní potenciální energii plus výstupní kinetické energii, ale počáteční energie v systému může být také reprezentována prací. Takže jsme jen přidali práci do této rovnice, která říká, že vstupní energie je rovna výstupní energii. Uvidíme, zda za pomoci této informace můžeme zjistit něco zajímavého o této trubce, kterou jsem nakreslil. Takže jaká práce je zaváděna do tohoto systému? Práce je síla krát vzdálenost, tak se na to zaměřme. Je to vstupní síla krát vstupní vzdálenost, takže co se stane za časový úsek t? Z posledního videa jsme se dozvěděli, že za časový úsek t by se tato tekutina mohla posunout takto daleko. A jaká je tato vzdálenost? Tato vzdálenost je vstupní rychlost krát jakékoli množství času, které uvažujeme, takže t. Takže toto je vzdálenost. A co je to síla? Síla je tlak krát plocha a můžeme to nahlédnout tak, že jednoduše podělíme sílu plochou a potom vynásobíme plochou, takže získáme vstupní sílu děleno vstupní plocha krát vstupní plocha. Dělíme to a násobíme stejným číslem, to je tlak, to je plocha. Toto násobíme vstupní vzdáleností za dané množství času. A to je vstupní rychlost krát čas. Takže vstupní práce je rovna vstupnímu tlaku krát vstupní plocha krát vstupní rychlost krát čas. A co představuje tato plocha krát rychlost krát čas, tj. krát tato vzdálenost? To je objem tekutiny, která vtekla dovnitř za daný časový úsek. Takže to se rovná objem tekutiny za daný časový úsek, takže to můžeme nazvat vstupním objemem. A víme, že hustota je hmotnost dělená objemem, neboli objem krát hustota je roven hmotnosti, neboli objem je roven hmotnosti dělené hustotou. Takže práce, kterou vkládám do systému, – vím, že dělám spoustu šíleností, ale dám tomu smysl – práce, kterou vkládám do systému, je rovna vstupnímu tlaku krát objem tekutiny, která se přesunula za daný úsek času. A tento objem tekutiny je roven hmotnosti tekutiny, která vstoupila za tento úsek času, a my ji můžeme zapsat jako vstupní hmotnost děleno hustotou. Doufám, že to dává trochu smysl. A jak víme, vstupní objem se bude rovnat výstupnímu objemu, takže vstupní hmotnost – protože se nemění hustota – je rovna výstupní hmotnosti, takže nemusíme rozlišovat vstupní a výstupní hmotnost. Hmotnost bude konstantní: Pro jakýkoli časový úsek bude hmotnost vstupující do systému rovna hmotnosti ze systému vystupující. Takže jsme získali výraz, zajímavý výraz pro práci, která se vkládá do systému. Jaká je potenciální energie systému na levé straně? Vstupní potenciální energie systému se bude rovnat té samé hmotnosti tekutiny, o které jsem mluvil, krát tíhové zrychlení krát tato vstupní výška, počáteční výška, h1. A jak vypadá vstupní kinetická energie tekutiny? Ta se rovná hmotnosti tekutiny – této hmotnosti právě tady, hmotnosti tekutiny ve válci, na který ukazuji – krát rychlost tekutiny na druhou – to si pamatujeme z kinetické energie – děleno dvěma. Takže jaká je celková energie v tomto bodě systému za tento časový úsek? Kolik energie vstoupilo do systému? Bude to vstupní práce, která se rovná vstupnímu tlaku... ...dochází mi místo, smažme to vše... ...taky mi asi dojde čas, ale to je v pořádku, je to lepší, než být zmatený... ...všechno to tu smažu... ...snad se nenudíte... Tak fajn, jsme připraveni. Zpátky k tomu, co jsme dělali. Takže celková energie vcházející do systému je práce vstupující do systému, tu jsem přepsal tímto způsobem, kde máme vstupní tlak – budeme ho nazývat p1 – krát hmotnost dělená hustotou tekutiny, ať už jde o jakoukoli tekutinu. Takže tohle je vstupní práce plus... – a kolik je potenciální energie? Napsal jsem ji sem – to je m krát g krát h, kde m je hmotnost tohoto objemu tekutiny, h je její průměrná výška – tuto výšku můžete chápat jako pozici těžiště nad povrchem planety, vzhledem k tomu, že tu máme g, předpokládejme, že jsme na Zemi – takže toto je h1 – protože výška se ve skutečnosti mění –, takže toto je vstupní potenciální energie plus kinetická energie, mv1 na druhou děleno 2. To je vstupní kinetická energie. A víme, že toto se musí rovnat energii vycházející ze systému. ...trochu si to tu pročistím, abychom měli dost prostoru... ...tohle jsem mazat nemusel, tento prostor nahoře asi nevyužiji... To se bude tedy rovnat tomu samému na výstupní straně. To se bude rovnat výstupní práci, takže to bude výstupní tlak krát hmotnost dělená hustotou plus výstupní potenciální energie, která bude m krát g krát h2 plus výstupní kinetická energie, která bude m krát v2 na druhou děleno 2. Právě jsem si uvědomil, že mi došel čas. Takže budu pokračovat v dalším videu. Na viděnou.
video