Tekutiny
Přihlásit se
Tekutiny (9/15) · 10:09

Bernoulliho rovnice, 2. část Druhá část důkazu Bernoulliho rovnice, začátek příkladu s jejím použitím

Navazuje na Gravitaci.
Začněme rychlým shrnutím toho, co jsme dělali minule. Měli jsme tuto divně tvarovanou trubici a tekutinu, která do ní vtékala rychlostí v1. Tlak na levé straně trubice tlačící tekutinu doprava je p1 a plocha tohoto otvoru je A1. A ty samé veličiny, ovšem s indexem 2, používáme pro výstup z trubice. V minulém videu jsme si zavedli zákon zachování energie (v joulech). Energie v tomto bodě systému, energie vstupující do systému, musí být rovna energii, která vychází ze systému ven. Využili jsme tuto informaci k odvození této velké, ale ne moc složité rovnice. Zjistili jsme, že práce vstupující do systému se rovná tlaku na vstupu krát hmotnost objemu, který protekl během časového intervalu, děleno hustotou tekutiny, ať už jde o jakoukoli tekutinu. Dále potenciální energie, typický vzorec. m krát g krát h, kde hmotnost je hmotností tohoto sloupce tekutiny. Říkáme vlastně, kolik bylo vykonáno práce během časového intervalu t. Tak o tom přemýšlím já. Kolik energie zde bylo během časového intervalu t. A kinetická energie během tohoto časového úseku by byla hmotnost tohoto objemu tekutiny krát její rychlost na druhou děleno 2. To je běžná kinetická energie. Samozřejmě, toto musí být v zásadě rovno výstupní energii. Takže toto je výstupní práce neboli kolik práce vykoná sloupec tekutiny na výstupu. Pamatujte, jde o ten samý objem tekutiny jako na vstupu. Během nějakého časového úseku t, ať to byl jakýkoli objem tekutiny, budeme tady mít stejný objem. Možná bude v tomto místě válec delší, protože se tady tekutina bude pohybovat rychleji. Takže na výstupní straně máme tento delší válec, ale má ten samý objem a tu samou hmotnost. Takže říkáme, že výstupní práce, kterou tento sloupec udělá během téhož časového intervalu, bude výstupní tlak krát hmotnost toho sloupce děleno hustotou sloupce – která je stejná, protože hustota tekutiny je v celé trubici stejná – krát hmotnost tohoto sloupce, ta je stejná jako hmotnost tohoto sloupce, neboť objem a hustota se nezměnily, máme tedy stejné hmotnosti. Ačkoli tento sloupec má více potenciální energie. Vystoupá až k h2 – a předpokládám, že h2 je větší než h1. A tato kinetická energie se rovná hmotnosti tohoto válce tekutiny krát jeho rychlost na druhou, což je výstupní rychlost, děleno 2. Toto jsou potenciální energie a kinetická energie na výstupu. Obě strany se sobě rovnají. Tato konstrukce se nazývá Bernoulliho rovnice. Podívejme se, zda ji můžeme upravit, tak, aby v ní nebyly proměnné, které bychom nemusely znát. Jednou zjevnou věcí je, že všude máme hmotnost m. Pojďme se jí zbavit, vydělme obě strany hmotností m. Dostáváme toto. A teď... nelíbí se mi tato hustota ve jmenovateli zde, vynásobme proto obě strany rovnice hustotou. Co nám zde zbylo? ...napíšu to výraznou barvou... p1, vstupní tlak, plus... – násobíme všechno hustotou rhó – máme tedy vstupní tlak plus rhó krát g krát h1, vstupní neboli počáteční výška, plus rhó krát v na druhou děleno 2. Toto je rhó krát v na druhou děleno 2 a toto celé se rovná... Vynásobili jsme obě strany rhó... ...toto je vstupní rychlost v1. Toto se tedy rovná výstupnímu tlaku plus hustota krát tíhové zrychlení krát výstupní výška. Pojďme to dělat konzistentně. Používal jsem zde index „2“. Toto je tlak p2, toto je výška h2 plus rhó krát rychlost na druhou děleno 2. Toto je Bernoulliho rovnice a má celou řadu elegantních, šikovných důsledků. Například nám říká, že... Řekněme, že výška je konstantní, takže můžeme zanedbat prostřední členy. Jestliže je výška konstantní a jestliže mám vyšší rychlost a tento celý výraz je konstantní, pak musí být tlak nižší. Přemýšlejme o tom: Jestliže výška je konstantní, toto se nemění, ale jestliže tato rychlost roste, ale toto všechno zůstává konstantní, tlak musí klesnout. Obdobně, jestliže roste tlak, potom rychlost bude klesat. Možná to není až tak intuitivní, ale dává to smysl. Když stoupá rychlost, tento tlak začíná klesat a díky tomu mohou letadla létat a mohou se dít další báječné věci. Za chvíli se k tomu dostaneme. Podívejme se, jestli můžeme využít Bernoulliho rovnici k něčemu užitečnému. Měli byste si ji zapamatovat. A na zapamatování by to nemělo být tak těžké. Toto je tlak a zde je téměř potenciální energie, jen s hustotou místo hmotnosti. A zde je něco jako kinetická energie. Už to není kinetická energie, neboť jsme ji trochu pozměnili, namísto hmotnosti máme hustotu. Pojďme to nyní použít v příkladu. Nechám tu rovnici zde dole, protože si ji pravděpodobně zatím nepamatujete. ...vše ostatní vymažu... ...to není způsob, jakým jsem to chtěl vymazat... ...to je ten způsob... ...chtěl jsem to vymazat takhle, abych si tu nechal užitečné věci... ...fajn, takhle to stačí... ...ještě to dočistím... ...dočistím tohle všechno... Řekněme, že mám hrníček. Hrníček. Namaluji hrníček. ...občas je jednodušší něco načrtnout než rýsovat rovné čáry a takové věci... ...ne, to je příliš tmavé... ...malujme purpurově... ...užívám super-široký štětec, musím si přepnout šířku... Toto je můj hrneček s nějakou tekutinou. Vlastně, řekněme, že ten hrneček má pokličku. A je v něm nějaká tekutina. ...možná bude červená... ...zatím jsme nepracovali s červenými tekutinami... ...oh, toto jsem nechtěl udělat... Prostě víme, že tam je tekutina. A řekněme, že tady není vzduch, je tu vakuum. A řekněme, že h – nezvolili jsme jednotky výšky –, ale řekněme h metrů pod povrchem tekutiny, – tady všude je tekutina – přímo zde udělám díru a tekutina začne stříkat ven. A moje otázka zní: Jaká je výstupní rychlost tekutiny jako funkce této výšky? Ještě k tomu něco řeknu. Řekněme, že tato díra je velmi malá, plocha této díry bude A2, a řekněme, že povrch hladiny vody je A1. A řekneme, že díra je tak malá, že povrch vody... řekněme, že A2 je roven 1/1000 krát A1. Je to tedy malá díra v porovnání s povrchem hladiny v tomto hrníčku. S těmito předpoklady se tedy podívejme, jak spočítat rychlost vytékající tekutiny. Bernoulliho rovnice říká, že vstupní tlak plus potenciální energie plus kinetická energie je rovna tomu samému na výstupu. Jaký je tedy vstupní tlak? Vstupní tlak, tlak v tomto bodě, – zde není vzduch ani žádná jiná tekutina – takže tlak v tomto bodě je roven nule, vstupní tlak je nula. Jaká je vstupní výška? Předpokládejme, že díra je ve výšce 0, h je rovno 0, takže vstupní výška h1 je jednoduše h. Jestliže je toto 0, potom je tato výška zde h. A jaká je vstupní rychlost? Z rovnice kontinuity víme, – nebo jak jsme tu rovnici nazývali – víme, že vstupní rychlost krát vstupní plocha se rovná výstupní rychlosti krát výstupní plocha. Víme také, že výstupní plocha je rovna 1/1000 vstupní plochy. Toto je plocha 2. Víme tedy, že vstupní rychlost krát plocha A1 se rovná výstupní rychlosti krát 1/1000 krát plocha A1. Takže můžeme říci plocha A1 děleno 1000. A obě strany můžeme vydělit plochou A1. Víme tedy, že vstupní rychlost je rovna V2 děleno 1000. To je dobré vědět. Toto jsou tři vstupní členy pro levou stranu Bernoulliho rovnice. A co bude na pravé straně Bernoulliho rovnice? Kolik je p2? Jaký je tlak v tomto bodě? Oh, vypršel mi čas. Budeme pokračovat v dalším videu.
video