Tekutiny
Přihlásit se
Tekutiny (12/15) · 7:47

Bernoulliho rovnice, 5. část Příklad použití Bernoulliho rovnice pro kapalinu proudící trubicí o proměnlivém průměru.

Navazuje na Gravitaci.
Řekněme, že mám vodorovnou trubici. Levý konec trubice má průřez A1, který se dejme tomu rovná 2 metry čtvereční. Řekněme, že se trubice zužuje, takže na konci má průřez A2, který je roven třeba 0,5 metru čtverečního. A řekněme, že máme typickou situaci, máme nějakou rychlost na tomto konci trubice, která je v1, a výstupní rychlost je v2. A řekněme, že vnější tlak v tomto místě, který vlastně působí na trubici směrem doprava, dejme tomu, že tento tlak je... ...napíšu to jasnější barvou... ...řekněme, že p1 je 10 000 pascalů. A řekněme, že tlak v tomto místě, tlak p2, což je vnější tlak na trubici v tomto místě, řekněme, že ten je roven 6 000 pascalů. A za těchto předpokladů... Řekněme, že v trubici máme vodu. ...takže sem můžu namalovat vodu... A předpokládáme laminární proudění, takže uvnitř trubice není žádné tření a nejsou žádné turbulence. Za těchto podmínek chci zjistit, jaký je průtok vody v trubici, jaký objem vody za vteřinu do trubice vteče nebo z ní vyteče. A z rovnice kontinuity víme, že to budou stejná čísla. Víme, že průtok R, což je objem za jednotku času, se rovná rychlosti ve vstupním otvoru krát vstupní průřez. Otvor na vstupu má 2 metry čtvereční, takže to bude 2 krát v1, což se také rovná výstupnímu průřezu krát výstupní rychlost, tedy se to rovná 0,5 krát v2. To můžeme přepsat tak, že v1 se rovná 0,5 krát R a že v2 je rovno 2 krát R. Z toho okamžitě plyne, že výstupní rychlost je větší než vstupní, a to jen na základě velikosti otvorů. A víme také, protože v2 vytéká rychleji a protože tlak na začátku je mnohem vyšší než na konci, že voda teče zleva doprava. Rozdíl tlaků, tlakový gradient, směřuje doprava, takže voda bude vytékat z tohoto konce a vtékat tímto koncem. Použijme tedy Bernoulliho rovnici, abychom zjistili, jaký je průtok trubicí. Napišme si tedy Bernoulliho rovnici: p1 plus rhó krát g krát h1 plus 0,5 krát rhó krát v1 na druhou je rovno p2 plus rhó krát g krát h2 plus 0,5 krát rhó krát v2 na druhou. Naše trubice je vodorovná, výška obou konců je stejná, takže h1 bude rovno h2. Tyto dva výrazy budou tedy stejné, takže je můžeme škrtnout, můžeme je odečíst z obou stran rovnice a zbude pouze p1... A co je p1? p1 je 10 000 pascalů. Pojďme to napsat v číslech: 10 000 pascalů plus 0,5 krát rhó krát v1 na druhou. Co je v1? To je R děleno 2, což vidíme tady. Tedy rhó krát R děleno dvěma na druhou je rovno p2, což je 6 000 pascalů, plus 0,5 krát rhó krát v2 na druhou. Zjistili jsme, co je v2... v2 je 2 krát R, zde tedy 2 krát R na druhou. Teď rovnici zjednodušme, odečteme 6000 z obou stran a zbude 4 000 plus rhó krát R na druhou děleno 4 a ještě jedna polovina, takže to bude rhó krát R na druhou děleno 8. A to se rovná... ...6 000 jsme odečetli z obou stran... Takže je to 2 krát rhó krát R na druhou. Můžeme vynásobit obě strany osmičkou, a zbavit se jmenovatele, takže dostaneme 32 000 plus rhó krát R na druhou se rovná 16 krát rhó krát R na druhou. Odečteme rhó krát R na druhou z obou stran rovnice a dostaneme 32 000 je rovno 15 krát rhó krát R na druhou. A co je rhó? Jaká je hustota vody? Hustota vody je 1 000 kg na metr krychlový. Takže tu máme 1 000. Podělíme obě strany výrazem 15 krát rhó. ...vyměním barvu... Dostaneme, že R na druhou je rovno 32 000 děleno 15 děleno rhó, rhó je 1 000, takže R na druhou je rovno 32 000 děleno 15 000, což je vlastně 32 děleno 15. R je tedy rovno odmocnině z 32 děleno 15 a bude v metrech krychlových za sekundu. ...vezmu si kalkulačku... ...já si ji vypnul? Myslím, že ano... ...tak ji zase zapnu... Takže mám 32 děleno 15 je 2,1 a odmocnina z toho je 1,46. Takže výsledek je: R se rovná 1,46 metrů krychlových za sekundu. To je objem vody, který v daném okamžiku buď do systému vtéká, nebo z něj vytéká Můžeme také zjistit rychlost... Jaká je výstupní rychlost systému? Kolik je dvakrát tohle? To je 2,8 (2,92) metrů za sekundu při výstupu, při vstupu to bude polovina, takže 0,8 (0,73) metrů za sekundu. Doufám, že vám to dalo... ...je to vlastně 0,7 metrů za sekundu... ...že vám to dalo lepší představu o tekutinách. To je vše, co jsem vám chtěl říci. Uvídíme se u příštího videa, kde se budeme zabývat termodynamikou.
video