Goniometrické funkce u pravoúhlého trojúhelníku

Na pravé straně máme spoustu výrazů, které představují různé poměry, které máme v těchto dvou diagramech. A tady na levé straně máme sinus úhlu MKJ, cosinus úhlu MKJ a tangens úhlu MKJ. Úhel MKJ je tento úhel, to stejné jako theta, takže prostě tyto dva úhly. Tyto dva úhly mají stejnou velikost. To můžeme vidět tady. A naším cílem je zjistit, které z těchto výrazů mají stejnou hodnotu jako výrazy, které jsou tady. Zkuste si pozastavit video a pokuste se vyřešit to sami. Předpokládám, že jste si to zkusili, pojďme to vyřešit společně. Když se podíváme na tento diagram nalevo, vypadá to jako záměr, že nám to připomíná jednotkovou kružnici goniometrických funkcí, protože tohle je jednotková kružnice. Připomíná to sohcahtoa definici (pomůcka pro počítání sinu, cosinu a tangentu), potože jsme v prostém, bílém trojúhelníku. A pojďme si připomenout sohcahtoa, protože by to pro nás mohllo být užitečné. Sinus je protilehlá ku přeponě. Cosinus je přilehlá ku přeponě. A tangens je protilehlá ku přilehlé. Můžeme to tedy použít a také si můžeme připomenout definici goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, kde cosinus úhlu odečteme na ose x podle toho, kde tato polopřímka protne jednotkovou kružnici, Sinus tohoto úhlu odečteme na ose y. A během tohoto videa uvidíte, že definice jednotkové kružnice je jenom rozšířením sohcahtoa. Začněme s x lomeno 1. Máme x, souřadnici x. To je také vzdálenost této strany vzhledem k tomuto úhlu, theta. To je přilehlá strana. x se tedy rovná přilehlé straně. A co je 1? Máme jednotkovou kružnici. A 1 je její poloměr, v tomto trojúhelníku napravo je 1 jeho přeponou. Když použijeme sohcahtoa, (x lomeno 1) je přilehlá ku přeponě, což je cosinus. Toto se tedy rovná cosinu theta, ale theta je to samé jako úhel MKJ. Mají stejnou velikost, takže cosinus úhlu MKJ se rovná cosinu theta, což se rovná (x lomeno 1). Pojďme se přesunout na (y lomeno 1). y je délka této strany. y je... Udělám to modře. y je tato délka vzhledem k úhlu theta. Je to protilehlá strana. A která goniometrická funkce je protilehlá ku přeponě? Protilehlá ku přeponě? To je sinus theta. Takže sinus úhlu MKJ je to samé jako sinus theta. Vidíme, že mají stejnou velikost, takže vidíme to stejné jako (y lomeno 1). Pro oba tyto zlomky jsem použil sohcahtoa definici, ale mohli jsme také použít definici jednotkové kružnice. x lomeno 1, to je to samé... To je to samé jako x. A definice jednotkové kružnice říká, že souřadnice x tam, kde je vrchol tohoto úhlu, kde tato polopřímka protíná jednotkovou kružnici. Tohle je podle definice, podle definice jednotkové kružnice, je cosinus tohoto úhlu. x se rovná cosinu tohoto úhlu. A podle definice jednotkové kružnice se souřadnice y rovná sinu tohoto úhlu. Místo x a y jsme mohli napsat cosinus theta a sinus theta, ale pojďme pokračovat. Teď máme x lomeno y. máme přilehlou ku protilehlé. Toto se rovná přilehlá ku protilehlé. Tangens je je protilehlá ku přilehlé, nikoliv přilehlá ku protilehlé. Tohle je opak tangentu. Tohle tady se rovná (1 lomeno tangens theta). Později se budeme učit o cotangentu, což je vlastně tohle, ale teď to nemáme v nabídce. Takže tohle můžeme vyškrtnout. Potom máme y lomeno x. A to vypadá dobře. y je protilehlá. A x je přilehlá vzhledem k úhlu theta. Takže tohle je tangens úhlu theta. Toto se rovná tangens theta. Tangens úhlu MKJ je to samé jako tangens theta, což je to samé jako (y lomeno x). Pojďme se podívat na J lomeno K. Přesouváme se tedy k tomuto trojúhelníku. J lomeno K. Vzhledem k tomuto úhlu, protože tenhle úhel nás zajímá. J je délka přilehlé strany a K je délka protilehlé strany. Tohle je přilehlá ku protilehlé. Tangens je protilehlá ku přilehlé, a ne přilehlá ku protilehlé. Ještě jednou, tohle je opak funkce tangens, nikoliv jedna z našich možností, které tu máme, takže ji můžeme vyškrtnout. Teď K lomeno J. Až teď je to protilehlá ku přilehlé. Protilehlá ku přilehlé. Toto se rovná tangens theta. nebo tangens úhlu MKJ. Tohle se rovná (K lomeno J). Teď tady máme M lomeno J. Přepona ku přilehlé straně. Tohle se samozřejmě rovná přeponě. Přepona ku přilehlé. Kdyby to byla přilehlá ku přeponě, měli bychom cosinus, ale tohle je jeho opak. Tohle je 1 lomeno cosinus theta, což nemáme v nabídce možností, takže tento zlomek vyškrtneme. A pak tu máme opačný zlomek, J lomeno M. Což je přilehlá ku přeponě. A přilehlá ku přeponě je cosinus. Tohle se rovná cosinus theta, nebo také cosinus úhlu MKJ, pojďme to zapsat. Tohle se rovná J lomeno M. A zbývá nám poslední, K lomeno M. Což je protilehlá ku přeponě. A to je sinus theta. Tohle se rovná sinus theta, což je to stejné jako sinus úhlu MKJ, což je to samé jako všechny tyhle výrazy. Tohle se rovná K lomeno M. A máme hotovo.