Důkaz goniometrické jedničky

Pojďme si shrnout definici trigonometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice. Přímo tady jsem nakreslil jednotkovou kružnici, čímž myslím kružnici s poloměrem 1. Například tady ten bod zde je bod [1;0]. x se rovná 1, y je 0. Tento bod je [0;1]. Tenhle bod je [-1;0] a tady ten [0;-1]. Poloměr, neboli vzdálenost od středu kružnice, který je v počátku soustavy souřadnic, k jakémukoliv bodu na kružnici, tedy ještě jednou poloměr, se rovná 1. Definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice využívá tuto jednotkovou kružnici, proto se jí taky tak říká. Viděli jsme, že když definujeme úhel tak, že spodní rameno úhlu splývá s kladnou částí osy x a druhé rameno úhlu někde protíná jednotkovou kružnici. Řekněme, že tohle je úhel θ (theta). Definujeme sinus θ a kosinus θ (theta), nebo kosinus θ a sinus θ jako x-ové a y-ové souřadnice bodu, ve kterém tohle rameno úhlu, které neleží na ose x, protíná jednotkovou kružnici. Například tento bod, nazvali bychom tuhle x-ovou souřadnici toho bodu, právě tuto hodnotu, jako kosinus θ. Potom y-ová souřadnice tohoto bodu, což je tento bod, bude sinus θ. V předchozím videu o jednotkové kružnici jsme mluvili o tom, proč je tohle přirozeným rozšířením definice o sinech a kosinech. Užitečné je to, že funguje i pro záporné úhly, dokonce funguje i pro pravý úhel, pro úhly větší než pravý úhel, i úhly menší než 90 stupňů. Takže je to velice, velice užitečné. Chci udělat to, že využiji toho, co už víme o definici goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice, abych dokázal Pythagorovu goniometrickou identitu. To skoro odporuje faktu, že tento bod leží na kružnici s poloměrem 1. Jaká je rovnice kružnice s poloměrem 1 a středem v počátku? Rovnice zní, že x na druhou. Máme další videa, kde toto dokazujeme pomocí vzorce pro vzdálenost, který je použitím Pythagorovy věty. Rovnice jednotkového kruhu se středem v počátku zní (x na druhou) plus (y na druhou) se rovná 1. Rovná se poloměru na druhou. Tahle vzdálenost se rovná 1. Už jsme řekli, že definujeme kosinus θ jako x-ovou souřadnici tohoto bodu a sinus θ bude y-ová souřadnice tohoto bodu, který leží na kružnici. Musí splňovat tento vztah. To znamená, že pokud definujeme kosinus θ jako tuto x-ovou hodnotu, a sinus θ jako tuto hodnotu y, musí splňovat tento vztah, což znamená, že kosinus na druhou θ plus sinus na druhou θ se musí rovnat jedna. Nebo sinus na druhou θ plus kosinus na druhou θ musí být rovno 1. To vše díky tomuto bodu, tohle je x, kosinus θ je x-ová souřadnice, sinus θ je y-ová souřadnice. Musí splňovat vztah, který definuje kružnici, proto kosinus na druhou θ plus sinus na druhou θ je 1. Toto se nazývá, jak jsme již viděli, Pythagorova goniometrická identita. Říkáte si, k čemu je to dobré? Využitím tohohle, pokud znáte sinus θ, můžete určit kosinus θ, nebo naopak. A pokud tedy znáte kosinus θ, pak můžete... Řekněme, že znáte kosinus θ, pak to můžete využit k vyřešení sinus θ, a to k vyřešení tangens θ. Protože tangens je (sinus lomeno kosinus). Pokud jste trošku zmatení, proč se tomuhle říká Pythagorova goniometrická identita, to vychází z toho, kde se vzala rovnice kružnice. Pokud se podíváme na tenhle bod, tady na ten bod, o kterém říkáme, že jeho x-ová souřadnice je kosinus θ a y-ová je sinus θ, jaká je vzdálenost mezi tímto bodem a počátkem? Abychom na to přišli, můžeme si sestrojit pravý úhel. Tuto vzdálenost zde. Abychom si poradili s každým kvadrantem. Udělám z toho absolutní hodnotu kosinus θ, jako tady tu vzdálenost. A tady tuhle vzdálenost jako absolutní hodnotu sinus θ. Zajisté nemusím dělat absolutní hodnotu v prvním kvadrantu, ale kdybychom byli v jiných kvadrantech a já chtěl tvořit podobné trojúhelníky, pak by absolutní hodnoty měly smysl. Co nám říká Pythagorova věta? Tohle je pravoúhlý trojúhelník, s přeponou o délce 1. Takže víme, že tento výraz na druhou, absolutní hodnota kosinus na druhou θ plus tento výraz na druhou, plus absolutní hodnota sinus na druhou θ se musí rovnat délce přepony na druhou, což je totéž, jako jedna na druhou. Nebo můžeme říci, to je totéž, jako... Pokud umocňujeme, pak znaménko, pokud je záporné, tak bude záporné krát záporné, tedy kladné, tedy tohle bude totéž jako kosinus na druhou θ plus sinus na druhou θ se rovná 1. Proto se tomu říká Pythagorova goniometrická identita. Odsud také pochází rovnice kružnice, vychází přímo z Pythagorovy věty, kde je přepona o délce 1.